Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$
$(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$
#1
Đã gửi 29-08-2017 - 23:07
#2
Đã gửi 30-08-2017 - 00:29
Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$
Áp dụng Công thức diện tích:
$\frac{{(a + b + c)}}{2}\frac{{(a + b - c)}}{2}\frac{{(b + c - a)}}{2}\frac{{(a + c - b)}}{2} = {S^2} = \frac{{{{(abc)}^2}}}{{16{R^2}}}$
$\Rightarrow (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b) = \frac{{{{(abc)}^2}}}{{{R^2}(a + b + c)}}$
Do $sinA + sinB + sinC \ge sin2A + sin2B + sin2C = 4\sin A\sin B\sin C$
$\Rightarrow 2{R^3}(sinA + sinB + sinC) \ge 8{R^3}\sin A\sin B\sin C \Rightarrow {R^2}(a + b + c) \ge abc$
$ \Rightarrow (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b) \le abc$
- hanguyen445 yêu thích
#3
Đã gửi 30-08-2017 - 05:16
Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$
AM-GM:$\begin{cases} (a+b-c)(b+c-a)\le b^2\\(b+c-a)(c+a-b)\le c^2\\(c+a-b)(a+b-c)\le a^2\end{cases}$
Nhân vế suy ra $[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2\le (abc)^2\iff (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 30-08-2017 - 05:17
Đề thi chọn đội tuyển HSG:
http://diendantoanho...date-2016-2017/
Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:
http://diendantoanho...topicfilter=all
Blog Thầy Trần Quang Hùng
http://analgeomatica.blogspot.com/
Hình học: Nguyễn Văn Linh
https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/
Toán học tuổi trẻ:
http://www.luyenthit...chi-thtt-online
Mathlink:http://artofproblemsolving.com
BẤT ĐẲNG THỨC:
http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/
http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/
#4
Đã gửi 30-08-2017 - 14:43
bđt trên cũng chính là bđt Schur.
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
#5
Đã gửi 30-08-2017 - 14:45
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh