Đến nội dung

Hình ảnh

$P=8abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
tsudere

tsudere

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ≤ $\frac{3}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$P=8abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$



#2
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

Từ điều kiện ta suy được $abc\leq \frac{1}{8}$                                                                                                                                                 Có$P= 8abc+\sum \frac{1}{a^{2}}= 32abc+\sum \frac{1}{a^{2}}-24abc$

Ap dụng bất đẳng thức Cauchy cho4 số dương ta có

$32abc+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 4\sqrt[4]{32abc.\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}}= 4\sqrt[4]{\frac{32}{abc}}\geq 16$

Tương tự ta có $24abc\leq 3\Rightarrow -24abc\geq -3$


Đặng Minh Đức CTBer


#3
tsudere

tsudere

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

Từ điều kiện ta suy được $abc\leq \frac{1}{8}$                                                                                                                                                 Có$P= 8abc+\sum \frac{1}{a^{2}}= 32abc+\sum \frac{1}{a^{2}}-24abc$

Ap dụng bất đẳng thức Cauchy cho4 số dương ta có

$32abc+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 4\sqrt[4]{32abc.\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}}= 4\sqrt[4]{\frac{32}{abc}}\geq 16$

Tương tự ta có $24abc\leq 3\Rightarrow -24abc\geq -3$

Cho mình hỏi tại sao lại suy ra được $abc\leq \frac{1}{8}$   ạ



#4
bunhiaxcopki

bunhiaxcopki

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết

Từ điều kiện ta suy được $abc\leq \frac{1}{8}$                                                                                                                                                 Có$P= 8abc+\sum \frac{1}{a^{2}}= 32abc+\sum \frac{1}{a^{2}}-24abc$

Ap dụng bất đẳng thức Cauchy cho4 số dương ta có

$32abc+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 4\sqrt[4]{32abc.\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}}= 4\sqrt[4]{\frac{32}{abc}}\geq 16$

Tương tự ta có $24abc\leq 3\Rightarrow -24abc\geq -3$

sao ra duoc $abc\leq \frac{1}{8}$



#5
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

Có $\frac{3}{4}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}$


Đặng Minh Đức CTBer


#6
nguyen kd

nguyen kd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Cho mình hỏi tại sao lại suy ra được $abc\leq \frac{1}{8}$   ạ

 

sao ra duoc $abc\leq \frac{1}{8}$

${3 \over 4} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\root 3 \of {{{(abc)}^2}}  \Rightarrow {1 \over {64}} \ge {(abc)^2} \Rightarrow {1 \over 8} \ge abc$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh