cho $a,b,c > 0$ thỏa $a+b+c=1$
Chứng minh :$\frac{a}{{\left( {a + 3b} \right)c}} + \frac{b}{{\left( {b + 3c} \right)a}} + \frac{c}{{\left( {c + 3a} \right)c}} \ge \frac{9}{4}$
$\sum {\frac{a}{{\left( {a + 3b} \right)c}}} \ge \frac{9}{4}$
Bắt đầu bởi nguyen kd, 31-08-2017 - 22:25
#2
Đã gửi 31-08-2017 - 22:51
TrucCumgarDaklak
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
$\sum \frac{a}{\left ( a+3b \right )c}=\sum \frac{a^{2}}{\left ( a+3b \right )ca}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sum a^{2}c+9abc}=\frac{1}{\sum a^{2}c+9abc }$
Ta có:$\sum a=1\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$$\Rightarrow 8abc\leq \frac{8}{27}$ (Bất đẳng thức AM-GM)
$\sum a^{2}c+abc\leq \frac{4}{27}\left ( \sum a \right )^{3}=\frac{4}{27}$ (Bất đẳng thức Vasc)
$\Rightarrow \sum a^{2}c+9abc\leq \frac{12}{27}\Rightarrow \frac{1}{\sum a^{2}c+9abc}\geq \frac{9}{4}\Rightarrow \sum \frac{a}{\left ( a+3b \right )c}\geq \frac{9}{4}$
Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 31-08-2017 - 22:53
- Kim Vu và minhducndc thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
