Chủ đề này có 5 trả lời

[nhanxuanha]

Câu 2: a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p;q)$ thỏa mãn  $p^2-5q^2=4$

b) Cho đa thức  $f(x)=x^2+bx+c$, biết $b,c$ là các hệ số dương và $f(x)$ có nghiệm. Chứng minh $f(2)\geq 9\sqrt[3]{c}$

[trieutuyennham]

b) Cho đa thức  $f(x)=x^2+bx+c$, biết $b,c$ là các hệ số dương và $f(x)$ có nghiệm. Chứng minh $f(2)\geq 9\sqrt[3]{c}$

Ta có

$\Delta =b^{2}-4c\geq 0$

$\Rightarrow b\geq 2\sqrt{c}$

$f(2)=4+2b+c\geq 4+4\sqrt{c}+c\geq 9\sqrt[9]{c^{3}}=9\sqrt[3]{c}$

[duylax2412]

1) Viết lại phương trình :

$(p-2)(p+2)=5q^2$.Vì $q$ nguyên tố và $p-2<p+2$ nên các hai trường hợp:

a)$p-2=5;p+2=q^2 \Rightarrow p=7;q=3$

b)$p-2=q;p+2=5q \Rightarrow p=3;q=1$(loại)

[nhanxuanha]

Ta có

$\Delta =b^{2}-4c\geq 0$

$\Rightarrow b\geq 2\sqrt{c}$

$f(2)=4+2b+c\geq 4+4\sqrt{c}+c\geq 9\sqrt[9]{c^{3}}=9\sqrt[3]{c}$

 

$4+4\sqrt{c}+c\geq 9\sqrt[9]{c^3}$ biến đổi cái này sao thế   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhanxuanha: 01-09-2017 - 12:29

[duylax2412]

2) Tổng quát bài toán:

Cho đa thức $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ có hệ số dương và luôn có nghiệm.Chứng minh:$f(2) \geq 3^n\sqrt[3]{a_0}$

Gọi $x_1.x_2,...x_n$ là các nghiệm $f(x)$.Rõ ràng tất cả phải âm vì tất cả hệ số của $f(x)$ dương.Đặt $y_i=-x_i$ $\forall i=\overline{1,n}\Rightarrow y_i > 0$.Suy ra $f(x)=(x+y_1)(x+y_2)...(x+y_n)$.Đồng nhất hệ số có được $y_1.y_2...y_n=a_0$

Khi đó sử dụng $AM-GM$ ba số thì ta có:

$f(2)=\prod _{i=1}^{n}(2+y_i)=\prod _{i=1}^{n}{(1+1+y_i)} \geq \prod _{i=1}^{n}{3\sqrt[3]{y_i}}=3^n\sqrt[3]{y_1.y_2...y_n}=3^n\sqrt[3]{a_0}$

[trieutuyennham]

$4+4\sqrt{c}+c\geq 9\sqrt[9]{c^3}$ biến đổi cái này sao thế   

Dùng AM-GM thôi mà bạn 

$4+4\sqrt{c}+c\geq 1+1+1+1+\sqrt{c}+\sqrt{c}+\sqrt{c}+\sqrt{c}+c\geq 9\sqrt[9]{c^{3}}=9\sqrt[3]{c}$