Chủ đề này có 3 trả lời

[PlanBbyFESN]

$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ 3bc+4ca+5ab\leq 6abc & \end{matrix}\right.$

 

Tìm MAX:

 

$\frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

[Nguyenhuyen_AG]

$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ 3bc+4ca+5ab\leq 6abc & \end{matrix}\right.$

 

Tìm MAX:

 

$\frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Giá trị lớn nhất là $\frac3{16}$ đạt được khi 3 biến đều bằng nhau.

[viet9a14124869]

Tìm dấu bằng kiểu gì vậy anh ?

Giá trị lớn nhất là $\frac3{16}$ đạt được khi 3 biến đều bằng nhau.

 

$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ 3bc+4ca+5ab\leq 6abc & \end{matrix}\right.$

 

Tìm MAX:

 

$\frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Ta sẽ chứng minh một đẳng thức : $24abc(3a+2b+c)\leq (5ab+3bc+4ca)^2\Leftrightarrow 9(ab-bc)^2+16(ab-ca)^2\geq 0$ ( đúng )

Kêt hợp với giả thiết bài toán , $\Rightarrow 24abc(3a+2b+c)\leq (5ab+3bc+4ca)^2\leq 36a^2b^2c^2\Rightarrow 3a+2b+c\leq \frac{3}{2}abc$

Suy ra $P= \frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}.\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{16}$ ( đúng theo AM-GM )

Vậy max P =$\frac{3}{16}$ $\Leftrightarrow a=b=c=2$

[Duy Thai2002]

Tìm dấu bằng kiểu gì vậy anh ?

 

Ta sẽ chứng minh một đẳng thức : $24abc(3a+2b+c)\leq (5ab+3bc+4ca)^2\Leftrightarrow 9(ab-bc)^2+16(ab-ca)^2\geq 0$ ( đúng )

Kêt hợp với giả thiết bài toán , $\Rightarrow 24abc(3a+2b+c)\leq (5ab+3bc+4ca)^2\leq 36a^2b^2c^2\Rightarrow 3a+2b+c\leq \frac{3}{2}abc$

Suy ra $P= \frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}.\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{16}$ ( đúng theo AM-GM )

Vậy max P =$\frac{3}{16}$ $\Leftrightarrow a=b=c=2$

Làm sao bạn tìm ra đẳng thức hay vậy.