Thượng úy
Cho $M$ là một ma trận hệ số hữu tỉ cỡ $n\times n$. Chứng minh đa thức tối tiểu của $M$ khi tính trong $\mathbb{Q}$ bằng đa thức tối tiểu của nó tính trong $\mathbb{R}$.
--
Mình đang ôn lại ít đại số tuyến tính, hãy cùng thảo luận bài này bằng cả cách đại số tuyến tính bình thường và dùng dạng chuẩn hữu tỉ của ma trận, etc...
Thiếu úy
Cho $M$ là một ma trận hệ số hữu tỉ cỡ $n\times n$. Chứng minh đa thức tối tiểu của $M$ khi tính trong $\mathbb{Q}$ bằng đa thức tối tiểu của nó tính trong $\mathbb{R}$.
--
Mình đang ôn lại ít đại số tuyến tính, hãy cùng thảo luận bài này bằng cả cách đại số tuyến tính bình thường và dùng dạng chuẩn hữu tỉ của ma trận, etc...
Tổng quát: Giả sử $M$ là một ma trận cỡ $n\times n$ với hệ số trong $\mathbb{F}$, $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ là một mở rộng trường. Khi đó dạng chuẩn hữu tỷ của $M$, đa thức tối tiểu của $M$ trên $\mathbb{F}$ và $\mathbb{K}$ là giống nhau.
Thật vậy, gọi $P$ là dạng chuẩn hữu tỷ của $M$ trên $\mathbb{F}$ thì $P$ cũng là dạng chuẩn hữu tỷ của $M$ trên $\mathbb{K}$ và từ tính duy nhất của dạng chuẩn hữu tỷ ta suy ra dạng chuẩn hữu tỷ là giống nhau. Mặt khác, vì đa thức tối tiểu của $M$ là nhân tử bất biến lớn nhất của $M$ nên từ việc dạng chuẩn hữu tỷ giống nhau trên 2 trường, thì ta cũng có đa thức tối tiểu là giống nhau (đpcm).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 02-09-2017 - 15:45
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Thiếu úy
Cho $M$ là một ma trận hệ số hữu tỉ cỡ $n\times n$. Chứng minh đa thức tối tiểu của $M$ khi tính trong $\mathbb{Q}$ bằng đa thức tối tiểu của nó tính trong $\mathbb{R}$.
--
Mình đang ôn lại ít đại số tuyến tính, hãy cùng thảo luận bài này bằng cả cách đại số tuyến tính bình thường và dùng dạng chuẩn hữu tỉ của ma trận, etc...
Tác giả có cách dùng đại số tuyến tính thì post lên cho mọi người tham khảo. Riêng em thì cảm nhận bài này dùng đại số tuyến tính có lẽ là khó, vì $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ là mở rộng vô hạn chiều; còn sử dụng dạng chuẩn Jordan thì chỉ liên hệ được với đa thức tối tiểu trên $\mathbb{C}$.
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Thượng úy
Có thể chỉ dùng lí thuyết đại số tuyến tính mà làm mẹo hơn như này:
Gọi $\pi_M$ và $\tau_M$ lần lượt là đa thức tối tiểu của $M$ trên $\mathbb{Q}$ và $\mathbb{R}$. Khi đó vì $\pi_M$ là một đa thức trên $\mathbb{R}$ làm triệu tiêu $M$ nên $\tau_M | \pi_M$. Để có điều cần chứng minh, gọi $d = \deg \pi_M$, ta sẽ chỉ ra $\deg \tau_M \geq d$.
Ta có $I, M, \dots, M^{d-1}$ là độc lập tuyến tính trong $\text{Mat}(n,\mathbb{Q})$, viết các ma trận này thành các vector cột dạng $n^2 \times 1$, ta có $d$ vector độc lập tuyến tính. Vì độc lập tuyến tính nên ma trận tạo bởi $d$ vector này có một ma trận con cỡ $d$ mà định thức $\neq 0$. Khi mở rộng lên $\mathbb{R}$, định thức con này vẫn khác $0$. Vì thế $I, M, \dots, M^{d-1}$ vẫn độc lập tuyến tính trong $\text{Mat}(n,\mathbb{R})$.
Vậy $\deg \tau_M > d-1$. Kết hợp với lí luận ở đầu ta có điều phải chứng minh, hay đa thức tối tiểu của ma trận giữ nguyên kể cả khi ta tính trong trường mở rộng.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
