Chủ đề này có 7 trả lời

[dunglamtym]

Bài 1: Điểm T nằm trong tam giác ABC và các

cặp điểm A₁ , A₂ ; B₁ , B₂ ; C₁ , C₂ theo thứ tự thuộc các đoạn BC, CA, AB sao cho các tam giác

TA₁A₂ , TB₁B₂ , TC₁C₂ đều. A₃ , B₃ , C₃ theo thứ tự là giao điểm của BC, CA, AB và B₂C₁ , C₂A₁

A₂B₁ . Chứng minh rằng A₃ , B₃ , C₃ thẳng hàng.

 

Bài 2: Cho tam giác ABC, I, G theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp và trong

tâm. M, N, P theo thứ tự là các tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp (I_A ), (I_B ), (I_C ) và các

cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy tại một điểm thuộc IG.

[dunglamtym]

Gợi ý rằng ở đây sử dụng kiến thức ĐL Ceva và Menelaus dạng độ dài đại số và vectơ.

[HoangKhanh2002]

Bài 2: Cho tam giác ABC, I, G theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp và trong

tâm. M, N, P theo thứ tự là các tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp (I_A ), (I_B ), (I_C ) và các

cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy tại một điểm thuộc IG.

Bạn làm ơn đăng nó ở box Hình THPT nhé, bạn đang vi phạm nội quy diễn đàn đấy

Mặc dù vậy cũng làm tạm bài 2:

Đặt $AB=c,BC=a,AC=b;2p=a+b+c$ ta có:

$AE+AF=AB+BE+AC+CF=AB+BC+CA=2p \Rightarrow AE=AF=p \Rightarrow BM=p-c=AN$

Tương tự ta cũng có: $CM=AP=p-b; NC=BP=p-a$

Do đó: $(p-c)\overrightarrow{MC}+(p-b)\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

Tương tự: $(p-c)\overrightarrow{NC}+(p-a)\overrightarrow{NA}=(p-a)\overrightarrow{PA}+(p-b)\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$.

Mà: $p-a+p-b+p-c=p \neq 0$

Do đó, theo định lí $Ceva$ dạng $vector$ suy ra: $AM,BN,CP$ đồng quy tại điểm $L$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A,B,C \right \}$ ứng với các hệ số $\left \{ p-a;p-b;p-c \right \}$

Khi đó: $(p-a)\overrightarrow{LA}+(p-b)\overrightarrow{LB}+(p-c)\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow p(\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC})-(a\overrightarrow{LA}+b\overrightarrow{LB}+c\overrightarrow{LC})=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow 3p\overrightarrow{LG}-2p\overrightarrow{LI}=0$

Vậy: $AM,BN,CP$ đồng quy tại điểm $L$ thuộc $IG\hspace{1cm}\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 02-09-2017 - 22:51

[dunglamtym]

Mình cảm ơn bạn đã nhắc nhở ạ! Và cảm ơn bài làm của bạn!

[servantofevil]

Bạn làm ơn đăng nó ở box Hình THPT nhé, bạn đang vi phạm nội quy diễn đàn đấy

Mặc dù vậy cũng làm tạm bài 2:

ceva dang vecto.png

Đặt $AB=c,BC=a,AC=b;2p=a+b+c$ ta có:

$AE+AF=AB+BE+AC+CF=AB+BC+CA=2p \Rightarrow AE=AF=p \Rightarrow BM=p-c=AN$

Tương tự ta cũng có: $CM=AP=p-b; NC=BP=p-a$

Do đó: $(p-c)\overrightarrow{MC}+(p-b)\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

Tương tự: $(p-c)\overrightarrow{NC}+(p-a)\overrightarrow{NA}=(p-a)\overrightarrow{PA}+(p-b)\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$.

Mà: $p-a+p-b+p-c=p \neq 0$

Do đó, theo định lí $Ceva$ dạng $vector$ suy ra: $AM,BN,CP$ đồng quy tại điểm $L$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A,B,C \right \}$ ứng với các hệ số $\left \{ p-a;p-b;p-c \right \}$

Khi đó: $(p-a)\overrightarrow{LA}+(p-b)\overrightarrow{LB}+(p-c)\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow p(\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC})-(a\overrightarrow{LA}+b\overrightarrow{LB}+c\overrightarrow{LC})=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow 3p\overrightarrow{LG}-2p\overrightarrow{LI}=0$

Vậy: $AM,BN,CP$ đồng quy tại điểm $L$ thuộc $IG\hspace{1cm}\square$

Có cách nào khác mà không dùng đến vectơ không bạn, mà chỉ dùng độ dài đại số thôi. Mình là theo cách độ dài đại số thì mới chứng minh được là 3 đường đồng quy chứ chư chứng minh được điểm đồng quy thuộc IG

[dunglamtym]

Có cách nào khác mà không dùng đến vectơ không bạn, mà chỉ dùng độ dài đại số thôi. Mình là theo cách độ dài đại số thì mới chứng minh được là 3 đường đồng quy chứ chư chứng minh được điểm đồng quy thuộc IG

Dùng vectơ cũng được chứ sao ? Độ dài đại số cũng liên quan đến vectơ mà

[servantofevil]

Mình chỉ hỏi xem có cách nào khác không thôi, vì mình thấy cách chứng minh đồng quy bằng độ dài đại số ngắn hơn nhiều

[dunglamtym]

Mình chỉ hỏi xem có cách nào khác không thôi, vì mình thấy cách chứng minh đồng quy bằng độ dài đại số ngắn hơn nhiều

À, CM đồng quy bằng độ dài đại số thì CM trước. Sau đó tôi không làm như cách ở trên mà sử dụng aIA + bIB + cIC = 0 và ( p-a)QA + (p-b)QB + (p-c)QC = 0

( IA, IB, IC, QA,QB,QC là các vector và Q là giao điểm của 3 đường đồng quy kia, p là nửa chu vi). Như vậy là ra đc thẳng hàng.