Tìm $f:\mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$ thỏa mãn:
$f(\frac{f^2(n)}{n})=n$
Tìm $f:\mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$ thỏa mãn:
$f(\frac{f^2(n)}{n})=n$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Tìm $f:\mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$ thỏa mãn:
$f(\frac{f^2(n)}{n})=n$
Ta có $n|f^2(n)$
Từ tính chất này cho $n = \dfrac{f^2(n)}{n}$ thì $f^2(n)|n^3$
Đặt $n= p_{1}^{a_1} \cdot p_{2}^{a_2} ....p_{n}^{a_n}$
Trong đó $p_1,p_2,...,p_n$ nguyên tố còn $a_1,a_2,...,a_n \in \mathbb{N*}$
Do $f^2(n)|n^3$ nên $f(n)$ phải có dạng $p_{1}^{b_1} \cdot p_{2}^{b_2}...p_{n}^{b_n}$
Trong đó $b_1,b_2,...b_n \in \mathbb{N}$ và $2b_{i} \leq 3a_{i}$
Do đó $b_{i} \leq a_{i}$ hay $f(n)|n$
Từ đẳng thức này cho $n=\dfrac{f^2(n)}{n}$ thì $n^2|f^2(n)$
Do đó $f(n)=n,\forall n$.
Thử lại TM.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 28-09-2017 - 15:39
Tìm $f:\mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$ thỏa mãn:
$f(\frac{f^2(n)}{n})=n$
Tương tự ta có bài toán:
Tìm $f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn: $f(\frac{f(n)}{n})=n^2$
Bài này là đề thi của Năng Khiếu, em không nhớ rõ năm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 28-09-2017 - 16:45
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh