Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tổng hợp định lý cơ bản về các loại module xạ ảnh , nội xạ , flat

theorem module flat projective injective

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Algebraic Stack

Đã gửi 03-09-2017 - 00:44

$1)$ Một $R$ module trái $P$ là xạ ảnh khi và chỉ khi mọi dãy khớp $0 \to A \to B \to P \to 0$ đều chẻ , nói cách khác hàm tử covariant là khớp . 

$2)$ Một $R$ module $P$ là xạ ảnh khi và chỉ khi nó là direct summand của một module tự do .

$3)$ ( dual basis ) Cho một $R$ module trái $A$ , là xạ ảnh khi và chỉ khi tồn tại một họ $\phi_{i} : A \to R , i \in I$ và $a_{i} \in A$ sao cho với mọi $x \in A$ thì $\phi_{i}(x) = 0$ với hầu hết trừ hữu hạn $i$ và $x = \sum_{i \in I} \phi_{i}(x)a_{i}$

Nhắc lại một module là biểu diễn hữu hạn nếu nó có dạng $(X | Y)$ với $X , Y$ hữu hạn , nói cách khác là hai điều kiện sau : 

$a)$ Tồn tại dãy khớp $R^{m} \to R^{n} \to M \to 0$

$b)$ Tồn tại dãy khớp $0 \to K \to F \to M \to 0$ với $F$ tự do và $F,K$ hữu hạn sinh . 

$4)$ Mọi module hữu hạn sinh xạ ảnh thì biểu diễn hữu hạn . 

$5)$ Một module là Noether khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong ba điều kiện : có $\mathbb{ACC}$ ( ascending chain condition ) trong cái module trái , mọi họ $F$ module con của nó có phần tử cực đại , mọi ideal trái là hữu hạn sinh . 

$6)$ ( Hilbert Basis Theorem ) Cho $R$ là noether thì $R[x]$ cũng là noether 

Nhắc lại rằng vành $R$ gọi là IBN ( invariant basis number ) nếu $R^{m} = R^{n} <=> m = n$ . 

$7)$ Vành noether có IBN 

$8)$ Module $E$ là nội xạ khi và chỉ khi mọi dãy khớp $0 \to E \to M \to N \to 0$ là chẻ trái , hay hàm tử contravariant của $E$ khớp .

$9)$ ( Baer Criterion ) Một $R$ module trái $E$ là nội xạ khi và chỉ khi mọi $R$ map $f : I \to E$ có thể mở rộng ra $g : R \to E$ ( $g | I = f$ ) trong đó $I$ là một ideal trái của $R$ 

$10$ Tích trực tiếp của module nội xa ( tương ứng : xạ ảnh ) hoặc direct summand của module nội xa ( tương ứng : xạ ảnh ) thì cũng nội xạ ( tương ứng : xạ ảnh ) 

$11)$ Cho $R$ là Noether , một họ $(E_{i})_{i \in I}$ là nội xạ khi đó $\bigoplus E_{i}$ cũng là nội xạ 

$12)$ ( Bass-sapp) Cho $R$ là vành mà mọi tổng trực tiếp các module nội xạ là nội xạ , thế thì $R$ là noether ( đảo của $11$ ) 

$13)$ Một module $E$ nội xạ khi và chỉ khi với mọi dãy khớp , trong đó $N$ là module cyclic $0 \to E \to M \to N \to 0$ thì phải chẻ trái . 

Nhắc lại rằng cho $M,E$ là hai $R$ module , $E$ đc gọi là essential extension of $M$ ( gọi là ee ) nếu tồn tại $R$ đơn cấu $\alpha : M \to E$ cho sao $S \cap \alpha(M) = 0$ với mọi module con của $E$ , nếu $\alpha$ không là toàn ánh thì gọi là proper ee . 

$14)$ Một $R$ module $M$ là nội xạ khi và chỉ khi nó không có ee thực sự nào 

$15)$ Các phần sau đây đúng : 

$a)$ $R$ là một $R$ module flat 

$b)$ Tổng trực tiếp của các $R$ module là flat khi và chỉ khi từng module thành phần flat 

$c)$ module xạ ảnh thì flat 

$16)$  ( bổ đề này rất quan trọng , khá giống với nhóm đồng điều trong topo đso , về phần compact , đây có thể gọi là phiên bản đại số ) Cho dãy khớp $R$ module $0 \to A \overset{i}{\rightarrow} B$ , tensor dãy khớp này với $M$ , nếu $u \in Ker(1_{M} \otimes i)$ thì tồn tại module hữu hạn sinh $N \subset M$ sao cho tồn tại $u' \in KN \otimes A$ sao cho $u' \in Ker(1_{N} \otimes i) , u = (f \otimes 1_{A})(u')$ trong đó $f : N \to M$ là inclusion 

$17)$ Nếu mọi module con hữu hạn sinh của $R$ module $M$ là flat thì $M$ flat 

Với mọi $R$ module $M$ ta đặt $M^{*} = Hom(M , Q/Z)$ 

$18)$ Dãy $A \to B \to C$ là khớp khi và chỉ khi $C^{*} \to B^{*} \to A^{*}$ là khớp 

$19)$ ( LAmbek ) Một $R$ module $B$ là flat khi và chỉ khi $B^{*}$ là nội xạ 

$20)$ Một module biểu diễn hữu hạn $B$ là hữu hạn khi và chỉ khi nó xạ ảnh .

$21)$ ( Villamayor ) Cho một dãy khớp $0 \to K \to F \to A \to 0$ trong đó $F$ tự do thế thì $A$ là flat khi và chỉ khi với mọi $v \in K$ có một $R$ map $\phi : F \to K$ sao cho $\phi(v)=v$ 

$22)$ Module hữu hạn sinh $B$ là xạ ảnh khi và chỉ khi nó biểu diễn hữu hạn và flat . 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 03-09-2017 - 00:44

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh