Chủ đề này có 1 trả lời

[lenadal]

Cho a,b,c là các số không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng 0

CMR

a, $\sum \frac{a(3a^2+5bc)}{(b+c)^2}\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

b, $\sum \sqrt{\frac{a^3+abc}{(b+c)^3}}\geq \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}$

c. $\sum \frac{a^3+abc}{b^3+c^3+abc}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-09-2017 - 23:25

[Nguyenhuyen_AG]

c. $\sum \frac{a^3+abc}{b^3+c^3+abc}\geq 2$

 

Nếu có một số bằng $0$ thì bất đẳng thức hiển nhiên. Xét trường hợp các số đều dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

\[\sum \frac{a^3+abc}{b^3+c^3+abc} \geqslant \frac{\displaystyle \left[\sum(a^3+abc)\right]^2}{\displaystyle \sum (b^3+c^3+abc)(a^3+abc)}.\]

Và

\[\left[\sum(a^3+abc)\right]^2 -2 \sum (b^3+c^3+abc)(a^3+abc) = \sum (a^2+bc) \sum a^2(a-b)(a-c) \ge 0.\]

Ta có điều phải chứng minh.