Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.
Chứng minh: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$
Bạn chứng minh bất đẳng thức sau :$\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ bằng biến đổi tương đương .Tương tự cho cái còn lại
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
Bạn chứng minh bất đẳng thức sau :$\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ bằng biến đổi tương đương .Tương tự cho cái còn lại
Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dat102: 04-09-2017 - 19:26
$\sqrt{MF}$
Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?
Kỷ thuật tiếp tuyến
Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?
kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693
Dùng kỹ thuật hệ số bất định. Chương UCT của quyển '' Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học''.
Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.
Chứng minh: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$
Một LG khác
kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693
Phải dowload ở #1 trang này à
kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693
Sao cứ bắt dowload z , bị quét đc 279 virus , mã hóa có xem dược đâu ,nạp tiền mới diệt đc
Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.
Chứng minh: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$
Một cách làm khác không dùng hệ số bất định.
Áp dụng AM-GM ta có: $\frac{a}{a^2+1}= \frac{a}{a^2+\frac{1}{9} +\frac{8}{9}} \le \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}} = \frac{9a}{6a+8}$
Áp dụng BĐT: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ge 9$ với $x,y,z >0$ (Dễ dàng CM bằng AM-GM)
$(6a+8+6b+8+6c+8)(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \ge 9$
$\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8} \ge \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$
Ta có: $\frac{9a}{6a+8} = \frac{3}{2} - \frac{12}{6a+8}$
$\rightarrow \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8} = \frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8})$
Lại có: $\frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \le \frac{9}{2} - 12*\frac{3}{10}=\frac{9}{2}-\frac{18}{5}=\frac{9}{10}$
Suy ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dat102: 08-09-2017 - 18:55
$\sqrt{MF}$
kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693
Dùng kỹ thuật hệ số bất định. Chương UCT của quyển '' Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học''.
Vậy lúc nào sử dụng UTC
Kỷ thuật tiếp tuyến
khi nào dùng
khi nào dùng
UTC
Một cách làm khác không dùng hệ số bất định.
Áp dụng AM-GM ta có: $\frac{a}{a^2+1}= \frac{a}{a^2+\frac{1}{9} +\frac{8}{9}} \le \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}} = \frac{9a}{6a+8}$
Áp dụng BĐT: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ge 9$ với $x,y,z >0$ (Dễ dàng CM bằng AM-GM)
$(6a+8+6b+8+6c+8)(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \ge 9$
$\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8} \ge \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$
Ta có: $\frac{9a}{6a+8} = \frac{3}{2} - \frac{12}{6a+8}$
$\rightarrow \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8} = \frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8})$
Lại có: $\frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \le \frac{9}{2} - 12*\frac{3}{10}=\frac{9}{2}-\frac{18}{5}=\frac{9}{10}$
Suy ra đpcm
nếu dùng sao không từ đầu
Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?
UTC đó pạn
dùng utc
UCT chỉ dùng cho các bất đẳng thức dài và khó thôi. Vì thực sự dùng khá phức tạp, nên hạn chế dùng thôi
Theo em bài này dùng được Chebyshev và nguyên lý Dirichlet nữa ạ
$Cách 1: Dùng Chebyshev Từ AM-GM suy ra a^{2}+\frac{1}{9}\geq \frac{2}{3}a Từ đó suy ra \frac{a}{a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}}\leq \frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}= \frac{9a}{6a+8} Vậy ta cần chứng minh \sum \frac{a}{6a+8}\leq \frac{1}{10} Xét \frac{a}{6a+8}-\frac{1}{30}= \frac{24a-8}{(6a+8)30} Vậy cần chứng minh \sum \frac{24a-8}{6a+8}\leq 0 Giả sử a\geq b\geq c nhận ra 2 chuỗi số sau ngược chiều 24a-8,24b-8,24c-8 \frac{1}{6a+8},\frac{1}{6b+8},\frac{1}{6c+8} xét bất đẳng thức Chebyshev ta có đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bolshevik: 10-02-2019 - 23:41
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh