Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1 dat102

dat102

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa, Đồng Nai
  • Sở thích:Toán, Bóng đá và ... :)

Đã gửi 04-09-2017 - 16:15

Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$


:ukliam2:  $\sqrt{MF}$  :ukliam2: 


#2 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 04-09-2017 - 16:26

Bạn chứng minh bất đẳng thức sau :$\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ bằng biến đổi tương đương .Tương tự cho cái còn lại


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#3 dat102

dat102

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa, Đồng Nai
  • Sở thích:Toán, Bóng đá và ... :)

Đã gửi 04-09-2017 - 19:24

Bạn chứng minh bất đẳng thức sau :$\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ bằng biến đổi tương đương .Tương tự cho cái còn lại

Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dat102: 04-09-2017 - 19:26

:ukliam2:  $\sqrt{MF}$  :ukliam2: 


#4 Tinh1100174

Tinh1100174

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-09-2017 - 19:31

Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?

Kỷ thuật tiếp tuyến



#5 trungdung19122002

trungdung19122002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-09-2017 - 19:47

Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?

kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693



#6 Diepnguyencva

Diepnguyencva

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hà, Hải Dương
  • Sở thích:Đọc sách, học bất đẳng thức

Đã gửi 04-09-2017 - 20:29

Dùng kỹ thuật hệ số bất định. Chương UCT của quyển '' Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học''.



#7 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-09-2017 - 17:21

Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$

Một LG khác

Hình gửi kèm

  • 43.JPG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#8 vmfquakui

vmfquakui

    Binh nhì

  • Banned
  • 11 Bài viết

Đã gửi 07-09-2017 - 21:23

kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693

Phải dowload ở #1 trang này à



#9 vmfquakui

vmfquakui

    Binh nhì

  • Banned
  • 11 Bài viết

Đã gửi 07-09-2017 - 21:28

kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693

Sao cứ bắt dowload z , bị quét đc 279 virus , mã hóa có xem dược đâu ,nạp tiền mới diệt đc :lol:



#10 dat102

dat102

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa, Đồng Nai
  • Sở thích:Toán, Bóng đá và ... :)

Đã gửi 08-09-2017 - 18:55

Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$

Một cách làm khác không dùng hệ số bất định.

Áp dụng AM-GM ta có: $\frac{a}{a^2+1}= \frac{a}{a^2+\frac{1}{9} +\frac{8}{9}} \le \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}} = \frac{9a}{6a+8}$

Áp dụng BĐT: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ge 9$ với $x,y,z >0$ (Dễ dàng CM bằng AM-GM)

$(6a+8+6b+8+6c+8)(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \ge 9$

$\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8} \ge \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$

Ta có: $\frac{9a}{6a+8} = \frac{3}{2} - \frac{12}{6a+8}$

$\rightarrow \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8} = \frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8})$

Lại có: $\frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \le \frac{9}{2} - 12*\frac{3}{10}=\frac{9}{2}-\frac{18}{5}=\frac{9}{10}$

Suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dat102: 08-09-2017 - 18:55

:ukliam2:  $\sqrt{MF}$  :ukliam2: 


#11 vmfquakui

vmfquakui

    Binh nhì

  • Banned
  • 11 Bài viết

Đã gửi 08-09-2017 - 21:00

kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693

 

 

Dùng kỹ thuật hệ số bất định. Chương UCT của quyển '' Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học''.

Vậy lúc nào sử dụng UTC



#12 vmfquakui

vmfquakui

    Binh nhì

  • Banned
  • 11 Bài viết

Đã gửi 08-09-2017 - 21:04

Kỷ thuật tiếp tuyến

khi nào dùng



#13 vmfquakui

vmfquakui

    Binh nhì

  • Banned
  • 11 Bài viết

Đã gửi 08-09-2017 - 21:11

khi nào dùng

UTC

 

Một cách làm khác không dùng hệ số bất định.

Áp dụng AM-GM ta có: $\frac{a}{a^2+1}= \frac{a}{a^2+\frac{1}{9} +\frac{8}{9}} \le \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}} = \frac{9a}{6a+8}$

Áp dụng BĐT: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ge 9$ với $x,y,z >0$ (Dễ dàng CM bằng AM-GM)

$(6a+8+6b+8+6c+8)(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \ge 9$

$\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8} \ge \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$

Ta có: $\frac{9a}{6a+8} = \frac{3}{2} - \frac{12}{6a+8}$

$\rightarrow \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8} = \frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8})$

Lại có: $\frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \le \frac{9}{2} - 12*\frac{3}{10}=\frac{9}{2}-\frac{18}{5}=\frac{9}{10}$

Suy ra đpcm

nếu dùng sao không từ đầu


Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?

UTC đó pạn



#14 vmfquakui

vmfquakui

    Binh nhì

  • Banned
  • 11 Bài viết

Đã gửi 08-09-2017 - 21:15

dùng utc



#15 Diepnguyencva

Diepnguyencva

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hà, Hải Dương
  • Sở thích:Đọc sách, học bất đẳng thức

Đã gửi 19-09-2017 - 19:59

UCT chỉ dùng cho các bất đẳng thức dài và khó thôi. Vì thực sự dùng khá phức tạp, nên hạn chế dùng thôi



#16 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 464 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:ngắm ảnh Cr

Đã gửi 25-09-2017 - 21:26

có cách nào khác không bạn


 

 

 

     

      ⎝╰‿╯⎠

      ꧁༺༒༻꧂


#17 Bolshevik

Bolshevik

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 10-02-2019 - 23:12

Theo em bài này dùng được Chebyshev và nguyên lý Dirichlet nữa ạ



#18 Bolshevik

Bolshevik

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 10-02-2019 - 23:28

$Cách 1: Dùng Chebyshev Từ AM-GM suy ra a^{2}+\frac{1}{9}\geq \frac{2}{3}a Từ đó suy ra \frac{a}{a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}}\leq \frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}= \frac{9a}{6a+8} Vậy ta cần chứng minh \sum \frac{a}{6a+8}\leq \frac{1}{10} Xét \frac{a}{6a+8}-\frac{1}{30}= \frac{24a-8}{(6a+8)30} Vậy cần chứng minh \sum \frac{24a-8}{6a+8}\leq 0 Giả sử a\geq b\geq c nhận ra 2 chuỗi số sau ngược chiều 24a-8,24b-8,24c-8 \frac{1}{6a+8},\frac{1}{6b+8},\frac{1}{6c+8} xét bất đẳng thức Chebyshev ta có đpcm$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bolshevik: 10-02-2019 - 23:41






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh