Chủ đề này có 2 trả lời

[Minhnksc]

Trên mặt phẳng có tồn tại hình $A$ hay không sao cho hình $A$ chứa một hình lồi $B$ thỏa mãn chu vi của hình lồi $B$ lớn hơn hình $A$?

Chú ý: Chu vi của một hình là độ dài đường biên của hình đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 07-09-2017 - 17:56

[Minhnksc]

Mở rộng: Trong không gian cho khối $B$ thỏa mãn bất cứ mặt phẳng nào cắt $B$ cũng cho ra tiết diện là một hình lồi. Hỏi có tồn tại khối $A$ nào chứa khối $B$ sao cho diện tích bề mặt của $A$ nhỏ hơn diện tích bề mặt của $B$ hay không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 07-09-2017 - 17:58

[redfox]

Bài 1: Không. Ta sẽ chứng minh chu vi $A$ không nhỏ hơn $B$. Ta có thể giả sử $A$ là hình lồi (chu vi bao lồi của $A$ không lớn hơn $A$ và bao lồi của $A$ chứa $B$). Ta chia đường biên của $B$ thành $n$ cung bằng nhau bởi các điểm $B_1,...,B_n$ theo chiều kim đồng hồ, các điểm này tạo thành đa giác lồi $P$. Từ hai điểm $B_i,B_{i+1}$ kẻ hai tia vuông góc với cạnh $B_iB_{i+1}$ và nằm phía ngoài $P$ cắt $A$ tại cung $A_i$. Vì đa giác $P$ và $A$ lồi nên các cung không giao nhau hoặc giao nhau tại một điểm. Ta có chiều dài cung $A_i$ không nhỏ hơn chiều dài cạnh $B_iB_{i+1}$ (đường ngắn nhất nối hai điểm phân biệt là đoạn thẳng, $B_iB_{i+1}$ là khoảng cách giữa hai tia trong cách dựng cung $A_i$ trên). Cho $n$ đến vô cùng ta có đpcm.

Bài 2: Không. Xét cạnh nối hai điểm tùy ý trong $B$ và mặt phẳng qua hai điểm đó, cạnh đó nằm trong tiết diện của mặt phẳng đó với $B$ nên nằm trong $B$, vậy khối $B$ lồi. Sau đó chia bề mặt của $B$ bằng các mặt phẳng cách đều nhau song song với mỗi cặp hai trục tọa độ. Sau đó chiếu như CM trên.

(mình không chắc chắn lắm về lời giải.)