Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6}\ge (n!)^{\frac{2}{n}}$ với $n\in \mathbb{N}^*$

[viet9a14124869]

Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6}\ge (n!)^{\frac{2}{n}}$ với $n\in \mathbb{N}^*$

Ta có một đẳng thức khá quen thuộc : $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Ta chứng minh bằng cách THCS :

$1^2+2^2+3^2+...+n^2=1(2-1)+2(3-1)+3(4-1)+...+n(n+1-1)=[1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)]-(1+2+3+...+n)=\frac{n(n+1)(n+2)-0.1.2}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Ngoài ra còn có thể chứng minh theo quy nạp hoặc dùng hằng đẳng thức các kiểu ....

Quay lại bài toán ,

+) Nếu n=1 ta có ngay đpcm .

+)Nếu n >1 ,áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

$RHS=\sqrt[n]{(n!)^2}=\sqrt[n]{1^2.2^2.3^2.....n^2}\leq \frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6}$

Chứng minh hoàn tất .