Chủ đề này có 7 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Cho hàm số $y=\frac{x^2+mx+n}{x^2+1}$ có hai điểm cực trị $x_1;x_2.$ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho.

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $y=\frac{x^2+mx+n}{x^2+1}$ có hai điểm cực trị $x_1;x_2.$ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho.

$y=\frac{x^2+mx+n}{x^2+1}=1+\frac{mx+n-1}{x^2+1}$

$y'=\frac{m(x^2+1)-2x(mx+n-1)}{(x^2+1)^2}$

$y'=0\Leftrightarrow m(x^2+1)=2x(mx+n-1)\Leftrightarrow mx^2+2(n-1)x-m=0$ (*)

Để tìm phương trình đi qua 2 điểm cực trị, ta biến đổi như sau :

$y=\frac{mx^2+m^2x+mn}{mx^2+m}=\frac{(m^2-2n+2)x+mn+m}{2(1-n)x+2m}=$

$=\frac{p[mx^2+2(n-1)x-m]+(m^2-2n+2)x+mn+m}{2(1-n)x+2m}$ (với $p$ là một số thích hợp nào đó mà ta phải tính)

$=\frac{pmx^2+[m^2+(n-1)(n-1+p)]x}{2(1-n)x+2m}+\frac{n-p+1}{2}$

Vậy nếu phương trình đt đi qua 2 điểm cực trị có dạng $ax+b$ thì :

$\left\{\begin{matrix}\frac{pm}{2(1-n)}=\frac{m^2+(n-1)(n-1+p)}{2m}=a\\\frac{n-p+1}{2}=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}p=1-n\\a=\frac{m}{2}\\b=n \end{matrix}\right.$

Phương trình đt đi qua 2 điểm cực trị là $y=\frac{m}{2}\ x+n$.

[caybutbixanh]

$y=\frac{x^2+mx+n}{x^2+1}=1+\frac{mx+n-1}{x^2+1}$

$y'=\frac{m(x^2+1)-2x(mx+n-1)}{(x^2+1)^2}$

$y'=0\Leftrightarrow m(x^2+1)=2x(mx+n-1)\Leftrightarrow mx^2+2(n-1)x-m=0$ (*)

Để tìm phương trình đi qua 2 điểm cực trị, ta biến đổi như sau :

$y=\frac{mx^2+m^2x+mn}{mx^2+m}=\frac{(m^2-2n+2)x+mn+m}{2(1-n)x+2m}=$

$=\frac{p[mx^2+2(n-1)x-m]+(m^2-2n+2)x+mn+m}{2(1-n)x+2m}$ (với $p$ là một số thích hợp nào đó mà ta phải tính)

$=\frac{pmx^2+[m^2+(n-1)(n-1+p)]x}{2(1-n)x+2m}+\frac{n-p+1}{2}$

Vậy nếu phương trình đt đi qua 2 điểm cực trị có dạng $ax+b$ thì :

$\left\{\begin{matrix}\frac{pm}{2(1-n)}=\frac{m^2+(n-1)(n-1+p)}{2m}=a\\\frac{n-p+1}{2}=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}p=1-n\\a=\frac{m}{2}\\b=n \end{matrix}\right.$

Phương trình đt đi qua 2 điểm cực trị là $y=\frac{m}{2}\ x+n$.

Dạ thưa chú, cháu chưa hiểu lắm đoạn đồng nhất quan hệ giữa a,b,m,n.........làm sao để được ra như thế ạ ??

[chanhquocnghiem]

Dạ thưa chú, cháu chưa hiểu lắm đoạn đồng nhất quan hệ giữa a,b,m,n.........làm sao để được ra như thế ạ ??

Ta có :

$y=\frac{pmx^2+[m^2+(n-1)(n-1+p)]x}{2(1-n)x+2m}+\frac{n-p+1}{2}$

$=\frac{pmx+m^2+(n-1)(n-1+p)}{2(1-n)x+2m}\ x+\frac{n-p+1}{2}$

Mà đó cũng chính là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị, có dạng $y=ax+b$, nên :

$b=\frac{n-p+1}{2}$

Còn $a=\frac{pmx+m^2+(n-1)(n-1+p)}{2(1-n)x+2m}$

$\Rightarrow a[2(1-n)x+2m]=pmx+m^2+(n-1)(n-1+p)\Rightarrow a=\frac{pm}{2(1-n)}=\frac{m^2+(n-1)(n-1+p)}{2m}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 14-09-2017 - 06:57

[caybutbixanh]

Ta có :

$y=\frac{pmx^2+[m^2+(n-1)(n-1+p)]x}{2(1-n)x+2m}+\frac{n-p+1}{2}$

$=\frac{pmx+m^2+(n-1)(n-1+p)}{2(1-n)x+2m}\ x+\frac{n-p+1}{2}$

Mà đó cũng chính là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị, có dạng $y=ax+b$, nên :

$b=\frac{n-p+1}{2}$

Còn $a=\frac{pmx+m^2+(n-1)(n-1+p)}{2(1-n)x+2m}$

$\Rightarrow a[2(1-n)x+2m]=pmx+m^2+(n-1)(n-1+p)\Rightarrow a=\frac{pm}{2(n-1)}=\frac{m^2+(n-1)(n-1+p)}{2m}$

Dạ không phải cái này.....mà ở đoạn $a=\frac{m}{2};b=n;p=1-n$...tại sao lại ra được như vậy..???

[chanhquocnghiem]

Dạ không phải cái này.....mà ở đoạn $a=\frac{m}{2};b=n;p=1-n$...tại sao lại ra được như vậy..???

$\frac{pm}{2(1-n)}=\frac{m^2+(n-1)(n-1+p)}{2m}\Leftrightarrow pm^2=[m^2+(n-1)^2](1-n)-p(n-1)^2\Leftrightarrow p=1-n$

Thay $p=1-n$ vào hệ phương trình $\Rightarrow a=\frac{m}{2}$ ; $b=n$

[caybutbixanh]

$\frac{pm}{2(1-n)}=\frac{m^2+(n-1)(n-1+p)}{2m}\Leftrightarrow pm^2=[m^2+(n-1)^2](1-n)-p(n-1)^2\Leftrightarrow p=1-n$

Thay $p=1-n$ vào hệ phương trình $\Rightarrow a=\frac{m}{2}$ ; $b=n$

Vâng con cám ơn chú nhiều......tiện thể cho hỏi luôn cái này : khi cháu đọc sách thì họ bảo gặp dạng hàm phân thức dạng bậc 2 trên bậc 1 thì lấy đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu thì sẽ ra phương trình đi qua 2 điểm cực trị của hàm nhưng không lý giải vì sao lại được như vậy.....chú có thể giải thích vì sao lại có thể làm như vậy không ạ ?....

[chanhquocnghiem]

Vâng con cám ơn chú nhiều......tiện thể cho hỏi luôn cái này : khi cháu đọc sách thì họ bảo gặp dạng hàm phân thức dạng bậc 2 trên bậc 1 thì lấy đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu thì sẽ ra phương trình đi qua 2 điểm cực trị của hàm nhưng không lý giải vì sao lại được như vậy.....chú có thể giải thích vì sao lại có thể làm như vậy không ạ ?....

$y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow adx^2+2aex+be-cd=0$ (*)

Để tìm pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị, ta biến đổi :

$y=\frac{adx^2+bdx+cd}{d(dx+e)}=\frac{adx^2+bdx+cd+adx^2+2aex+be-cd}{d(dx+e)}$

$=\frac{(2ax+b)(dx+e)}{d(dx+e)}=\frac{2ax+b}{d}$