Đến nội dung

Hình ảnh

min, max của $A=x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
The Flash

The Flash

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

Cho $x,y\in [0;1]$. Tìm min, max của $A=x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$



#2
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

có ai giải bài này chưa ạ

:mellow:  :mellow:  :mellow:


  N.D.P 

#3
toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết

Cho $x,y\in [0;1]$. Tìm min, max của $A=x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$

Đặt $x=sina,y=sinb$ với $a,b\in (0;\frac{\pi}{2})$

Trước tiên, ta có $A=sina+sinb+sin(a+b)=2sin\frac{a+b}{2}(cos\frac{a+b}{2}+cos\frac{a-b}{2})\geq 0$

Giờ ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của A.

Ta có:

$A^2=(sina+sinb+sin(a+b))^2\leq 3(sin^2a+sin^2b+sin^2(a+b)) =3(1-\frac{cos2a+cos2b}{2}+sin^2(a+b))=3(2-cos(a+b)cos(a-b)-cos^2(a+b)) =3(2+\frac{cos^2(a-b)}{4}-(cos(a+b)+\frac{cos(a-b)}{2})^2)\leq \frac{27}{4}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{\pi}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toannguyenebolala: 13-09-2017 - 23:06

"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"


#4
NTL2k1

NTL2k1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đặt $x=sina,y=sinb$ với $a,b\in (0;\frac{\pi}{2})$

Trước tiên, ta có $A=sina+sinb+sin(a+b)=2sin\frac{a+b}{2}(cos\frac{a+b}{2}+cos\frac{a-b}{2})\geq 0$

Giờ ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của A.

Ta có:

$A^2=(sina+sinb+sin(a+b))^2\leq 3(sin^2a+sin^2b+sin^2(a+b)) =3(1-\frac{cos2a+cos2b}{2}+sin^2(a+b))=3(2-cos(a+b)cos(a-b)-cos^2(a+b)) =3(2+\frac{cos^2(a-b)}{4}-(cos(a+b)+\frac{cos(a-b)}{2})^2)\leq \frac{27}{4}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{\pi}{3}$

Bạn có thể giải thích cho mình đoạn $\leq$ rõ hơn được không ?


Bình tĩnh - Tự tin - Chiến thắng

Không phải là tôi quá thông minh, chỉ là tôi chịu bỏ nhiều thời gian hơn với rắc rối .

Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng - Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn .

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh