Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm số tự nhiên m,n sao cho : 2^m + 5^n là số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 hoicmvsao

hoicmvsao

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghĩa Đàn - Nghệ An (PBC)
  • Sở thích:Tổ hợp, Bất đẳng thức

Đã gửi 11-09-2017 - 23:42

Tìm số tự nhiên m,n sao cho :

2^m + 5^n là số chính phương



#2 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 12-09-2017 - 14:01

Đặt :$2^m +5^n =k^2 (k \in Z^{+}$)

Nếu $n=0$ suy ra $2^m =(k-1)(k+1)$ dẫn đến hệ :$ k-1 =2^s$ và $k+1 =2^r$ với $r,s \in N$ và $r+s=m$

Trừ nhau có $2^s(2^{r-s}-1)=2 \Rightarrow s=1;r=2$.Từ đây tìm được $m=3$

Xét $n>0$ Nếu $m$ là số lẻ thì $ 2^m \equiv 2,3 (mod 5)$ (cụ thể $2^1 \equiv 2 (mod 5);2^3 \equiv 3 (mod 5)$ và số dư lặp lại tuần hoàn như thế) nên $k^2 =2^m +5^n \equiv 2,3 (mod 5)$.Vô lý 

Vậy $m$ chẵn  nên $m=2p \in Z^{+}$ suy ra $(k-2^p)(k+2^p)=5^n$.Khi đó sẽ tồn tại $x,y \in N$ thỏa :

$k-2^p=5^x$ và $k+2^p=5^y$ ( chú ý $x+y=n$)

Từ điều trên suy ra $2^{p+1}=5^y-5^x=5^x(5^{y-x}-1) \Rightarrow 2^{p+1} \vdots 5^x \Rightarrow x=0$ dẫn đến $2^{p+1}=5^y-1$ (*)

Với $y$ lẻ thì chứng minh được $5^y-1 \equiv 4 (mod 8)$ tức là nó chia hết $4$ nhưng không chia hết cho $8$

Suy ra $p+1=2 \Rightarrow p=1 \Rightarrow m=2;k=3$ nên $n=1$

Còn với $y$ chẵn thì đặt $y=2t \in Z^{+}$ thay vào (*) thì $2^{p+1}=(5^t-1)(5^t+1)$

Giải tương tự (mỗi thừa số là lũy thừa $2$) thì ta không có nghiệm trong TH này

Vậy $(m;n)=(3;0);(2;1)$

 

 

 


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#3 aQuynh112

aQuynh112

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 13-10-2019 - 11:37

   cái dòng thứ 8,9 là sao v anh em ko hiểu lắm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh