Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số tự nhiên m,n sao cho : 2^m + 5^n là số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hoicmvsao

hoicmvsao

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Tìm số tự nhiên m,n sao cho :

2^m + 5^n là số chính phương



#2
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Đặt :$2^m +5^n =k^2 (k \in Z^{+}$)

Nếu $n=0$ suy ra $2^m =(k-1)(k+1)$ dẫn đến hệ :$ k-1 =2^s$ và $k+1 =2^r$ với $r,s \in N$ và $r+s=m$

Trừ nhau có $2^s(2^{r-s}-1)=2 \Rightarrow s=1;r=2$.Từ đây tìm được $m=3$

Xét $n>0$ Nếu $m$ là số lẻ thì $ 2^m \equiv 2,3 (mod 5)$ (cụ thể $2^1 \equiv 2 (mod 5);2^3 \equiv 3 (mod 5)$ và số dư lặp lại tuần hoàn như thế) nên $k^2 =2^m +5^n \equiv 2,3 (mod 5)$.Vô lý 

Vậy $m$ chẵn  nên $m=2p \in Z^{+}$ suy ra $(k-2^p)(k+2^p)=5^n$.Khi đó sẽ tồn tại $x,y \in N$ thỏa :

$k-2^p=5^x$ và $k+2^p=5^y$ ( chú ý $x+y=n$)

Từ điều trên suy ra $2^{p+1}=5^y-5^x=5^x(5^{y-x}-1) \Rightarrow 2^{p+1} \vdots 5^x \Rightarrow x=0$ dẫn đến $2^{p+1}=5^y-1$ (*)

Với $y$ lẻ thì chứng minh được $5^y-1 \equiv 4 (mod 8)$ tức là nó chia hết $4$ nhưng không chia hết cho $8$

Suy ra $p+1=2 \Rightarrow p=1 \Rightarrow m=2;k=3$ nên $n=1$

Còn với $y$ chẵn thì đặt $y=2t \in Z^{+}$ thay vào (*) thì $2^{p+1}=(5^t-1)(5^t+1)$

Giải tương tự (mỗi thừa số là lũy thừa $2$) thì ta không có nghiệm trong TH này

Vậy $(m;n)=(3;0);(2;1)$

 

 

 


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh