Tìm số tự nhiên m,n sao cho :
2^m + 5^n là số chính phương
Đặt :$2^m +5^n =k^2 (k \in Z^{+}$)
Nếu $n=0$ suy ra $2^m =(k-1)(k+1)$ dẫn đến hệ :$ k-1 =2^s$ và $k+1 =2^r$ với $r,s \in N$ và $r+s=m$
Trừ nhau có $2^s(2^{r-s}-1)=2 \Rightarrow s=1;r=2$.Từ đây tìm được $m=3$
Xét $n>0$ Nếu $m$ là số lẻ thì $ 2^m \equiv 2,3 (mod 5)$ (cụ thể $2^1 \equiv 2 (mod 5);2^3 \equiv 3 (mod 5)$ và số dư lặp lại tuần hoàn như thế) nên $k^2 =2^m +5^n \equiv 2,3 (mod 5)$.Vô lý
Vậy $m$ chẵn nên $m=2p \in Z^{+}$ suy ra $(k-2^p)(k+2^p)=5^n$.Khi đó sẽ tồn tại $x,y \in N$ thỏa :
$k-2^p=5^x$ và $k+2^p=5^y$ ( chú ý $x+y=n$)
Từ điều trên suy ra $2^{p+1}=5^y-5^x=5^x(5^{y-x}-1) \Rightarrow 2^{p+1} \vdots 5^x \Rightarrow x=0$ dẫn đến $2^{p+1}=5^y-1$ (*)
Với $y$ lẻ thì chứng minh được $5^y-1 \equiv 4 (mod 8)$ tức là nó chia hết $4$ nhưng không chia hết cho $8$
Suy ra $p+1=2 \Rightarrow p=1 \Rightarrow m=2;k=3$ nên $n=1$
Còn với $y$ chẵn thì đặt $y=2t \in Z^{+}$ thay vào (*) thì $2^{p+1}=(5^t-1)(5^t+1)$
Giải tương tự (mỗi thừa số là lũy thừa $2$) thì ta không có nghiệm trong TH này
Vậy $(m;n)=(3;0);(2;1)$
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh