Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\int_0^1 \frac{dx}{(1-x)^m}$

chú nghiêm idol

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-09-2017 - 15:37

Bài 1: Xét sự hội tụ của tích phân sau :

$1,\int _1^2 \frac{dx}{x^3-1}; \\ 2,\int_0^1 \frac{dx}{(1-x)^m}; \\ 3,\int _1 ^{+\infty} \frac{1+x^2}{x^3} dx;$

Bài 2: Tìm công thức tổng quát của $I_n=\int x^n.e^xdx$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 15-09-2017 - 15:06

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2075 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-09-2017 - 16:41

Bài 1: Xét sự hội tụ của tích phân sau :

$1,\int _1^2 \frac{dx}{x^3-1}; \\ 2,\int_0^1 \frac{dx}{(1-x)^m}

1) $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x^3-1}=\lim_{\varepsilon \to0^+}\int_{1+\varepsilon }^{2}\frac{dx}{x^3-1}$

$=\lim_{\varepsilon \to0^+}\left [ \left ( \frac{1}{3}\ln1-\frac{1}{6}\ln7-\frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{5}{\sqrt3} \right )-\left ( \frac{1}{3}\ln\varepsilon -\frac{1}{6}\ln[(1+\varepsilon )^2+\varepsilon +2]-\frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{3+2\varepsilon }{\sqrt3} \right ) \right ]$

$=+\infty$. Vậy tích phân đang xét là phân kỳ.

 

2) $\int _0^1\frac{dx}{(1-x)^m}$

    Xét các trường hợp :

   a) $m\leqslant 0$ : Khi đó $\int _0^1\frac{dx}{(1-x)^m}=\int _0^1(1-x)^{-m}dx$ (Tích phân này là hội tụ vì hàm dưới dấu tích phân không có điểm gián đoạn vô cực trong khoảng lấy tích phân)

   b) $m> 0$ :

    + $m\neq 1$ :

      $\int _0^{1-\varepsilon }\frac{dx}{(1-x)^m}=-\frac{1}{-m+1}(1-x)^{-m+1}\Bigg|_0^{1-\varepsilon }=\frac{1}{m-1}.\varepsilon ^{-m+1}+\frac{1}{-m+1}.1^{-m+1}$

      $\lim_{\varepsilon \to0^+}\int _0^{1-\varepsilon }\frac{dx}{(1-x)^m}=\frac{1}{1-m}+\frac{1}{m-1}\lim_{\varepsilon \to0^+}\varepsilon ^{1-m}=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{1-m}\ khi\ m< 1\\+\infty\ khi\ m> 1 \end{matrix}\right.$

    + $m=1$ :

      $\int _0^{1-\varepsilon }\frac{dx}{1-x}=-\ln(1-x)\Bigg|_0^{1-\varepsilon }$

      $\lim_{\varepsilon \to0^+}\int _0^{1-\varepsilon }\frac{dx}{1-x}=\lim_{\varepsilon \to0^+}(\ln1-\ln\varepsilon )=+\infty$

 

Kết luận : Tích phân đang xét phân kỳ nếu $m\geqslant 1$ ; hội tụ nếu $m< 1$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2075 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-09-2017 - 17:00

Xét sự hội tụ của tích phân sau :

$3,\int _1 ^{+\infty} \frac{1+x^2}{x^3} dx;$

 

$\int _1^{+\infty}\frac{1+x^2}{x^3}\ dx=\int _1^{+\infty}\frac{dx}{x^3}+\int _1^{+\infty}\frac{dx}{x}$

Mà $\int _1^{+\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{b\to+\infty}(\ln b-\ln 1)=+\infty$

Do đó tích phân đang xét là phân kỳ.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2075 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-09-2017 - 18:01

 

Bài 2: Tìm công thức tổng quát của $I_n=\int x^n.e^xdx$

$I_n=\int x^ne^xdx=x^ne^x-n\int x^{n-1}e^xdx=x^ne^x-nI_{n-1}$

$I_0=\int e^xdx=e^x+C$

$I_1=xe^x-1I_0=xe^x-e^x+C$

$I_2=x^2e^x-2I_1=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$

$I_3=x^3e^x-3I_2=x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+C$

Tổng quát : $I_n=x^ne^x-A_n^1x^{n-1}e^x+A_n^2x^{n-2}e^x-A_n^3x^{n-3}e^x+...+C$

(Có thể chứng minh công thức tổng quát bằng cách đạo hàm để được $x^ne^x$, hoặc bằng quy nạp)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh