Bài 1: Xét sự hội tụ của tích phân sau :
$1,\int _1^2 \frac{dx}{x^3-1}; \\ 2,\int_0^1 \frac{dx}{(1-x)^m}
1) $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x^3-1}=\lim_{\varepsilon \to0^+}\int_{1+\varepsilon }^{2}\frac{dx}{x^3-1}$
$=\lim_{\varepsilon \to0^+}\left [ \left ( \frac{1}{3}\ln1-\frac{1}{6}\ln7-\frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{5}{\sqrt3} \right )-\left ( \frac{1}{3}\ln\varepsilon -\frac{1}{6}\ln[(1+\varepsilon )^2+\varepsilon +2]-\frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{3+2\varepsilon }{\sqrt3} \right ) \right ]$
$=+\infty$. Vậy tích phân đang xét là phân kỳ.
2) $\int _0^1\frac{dx}{(1-x)^m}$
Xét các trường hợp :
a) $m\leqslant 0$ : Khi đó $\int _0^1\frac{dx}{(1-x)^m}=\int _0^1(1-x)^{-m}dx$ (Tích phân này là hội tụ vì hàm dưới dấu tích phân không có điểm gián đoạn vô cực trong khoảng lấy tích phân)
b) $m> 0$ :
+ $m\neq 1$ :
$\int _0^{1-\varepsilon }\frac{dx}{(1-x)^m}=-\frac{1}{-m+1}(1-x)^{-m+1}\Bigg|_0^{1-\varepsilon }=\frac{1}{m-1}.\varepsilon ^{-m+1}+\frac{1}{-m+1}.1^{-m+1}$
$\lim_{\varepsilon \to0^+}\int _0^{1-\varepsilon }\frac{dx}{(1-x)^m}=\frac{1}{1-m}+\frac{1}{m-1}\lim_{\varepsilon \to0^+}\varepsilon ^{1-m}=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{1-m}\ khi\ m< 1\\+\infty\ khi\ m> 1 \end{matrix}\right.$
+ $m=1$ :
$\int _0^{1-\varepsilon }\frac{dx}{1-x}=-\ln(1-x)\Bigg|_0^{1-\varepsilon }$
$\lim_{\varepsilon \to0^+}\int _0^{1-\varepsilon }\frac{dx}{1-x}=\lim_{\varepsilon \to0^+}(\ln1-\ln\varepsilon )=+\infty$
Kết luận : Tích phân đang xét phân kỳ nếu $m\geqslant 1$ ; hội tụ nếu $m< 1$.