Chủ đề này có 1 trả lời

[vta00]

Chứng minh rằng phương trình $x^{x+1}=(x+1)^{x}$ có nghiệm dương duy nhất

[trambau]

Chứng minh rằng phương trình $x^{x+1}=(x+1)^{x}$ có nghiệm dương duy nhất

Điều kiện $x>0$

lấy ln ta được pt $(x+1)lnx-xln(x+1)=0$ . xét hàm $f(x)=(x+1)lnx-xln(x+1)=0$

$f'(x)=lnx+\frac{x+1}{x}-ln(x+1)-\frac{x}{x+1}=ln(\frac{x}{x+1})+\frac{2x+1}{x(x+1)}$

xét hàm số 

$g(x)=ln(\frac{x}{x+1})+\frac{2x+1}{x(x+1)};x\in(0;\propto )$

ta có $g'(x)=\frac{-1}{2}<0$ nên hàm số nghịch biến

mà $\lim_{n \to \propto }g(x)=\lim_{n \to +\propto }(ln(\frac{x}{x+1})+\frac{2x}{x(x+1)})$

do đó g(x)>0 với mọi $x\in(0;+\propto )$

Từ đó suy ra f′(x)>0, với mọi $x\in(0;+\propto )$

Vậy f(x) là hàm đơn điệu tăng trên $(0;+\propto )$

Mặt khác ta có

$f(1)=-ln2<0; \lim_{x \to +\propto }= \lim_{x \to +\propto }ln((\frac{x}{x+1})^x.x)=+\propto$

suy ra $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x_0 \in (1;+\propto )$

=> đpcm