cho dãy ${x_{n}}$ $x_{0}=x_{1}=1$ và $x_{n+2}=14x_{n+1}-x_{n}-4$. Cmr $x_{n}$ là số chính phương
Chú ý: dùng phương pháp quy nạp k dùng phương trình sai phân hoặc tuyến tính( Chỉ dùng để xác định trức dạng tổng quát của $x_{n}$)
cho dãy ${x_{n}}$ $x_{0}=x_{1}=1$ và $x_{n+2}=14x_{n+1}-x_{n}-4$. Cmr $x_{n}$ là số chính phương
Chú ý: dùng phương pháp quy nạp k dùng phương trình sai phân hoặc tuyến tính( Chỉ dùng để xác định trức dạng tổng quát của $x_{n}$)
ý tưởng từ một thành viên VMF
Từ giả thiết ta suy ra:
$\frac{x_{n+2}+x_n+4}{x_{n+1}}=\frac{x_{n+1}+x_{n-1}+4}{x_n}$ (cùng bằng $14$)
$\Rightarrow (x_{n+1})^2+x_{n+1}x_{n-1}+4x_{n+1}=x_n^2+x_nx_{n+2}+4x_n$
$\Rightarrow (x_{n+1})^2+4x_{n+1}-x_n.x_{n+2}=x_n^2+4x_n-x_{n-1}.x_{n+1}$
Và cứ lặp lại như thế thì :
$(x_{n+1})^2+4x_{n+1}-x_n.x_{n+2}=x_n^2+4x_n-x_{n-1}.x_{n+1}=x_{n-1}^2+4x_{n-1}-x_{n-1}x_n=...=x_1^2+4x_1-x_0.x_2=-4$
$\Rightarrow x_n.x_{n+2}=(x_{n+1}+2)^2$
Từ hệ thức này suy ra nếu $x_n$ là số chính phương thì $x_{n+2}$ là số chính phương.Vì thế:
$x_0$ là số chính phương $\Rightarrow$ $x_2$ là số chính phương $\Rightarrow x_4$ là số chính phương....
$x_1$ là số chính phương $\Rightarrow$ $x_3$ là số chính phương $\Rightarrow x_5$ là số chính phương....
Vậy $x_n$ là số chính phương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 15-09-2017 - 20:57
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh