Chủ đề này có 1 trả lời

[Axis]

Cho $p,q,r$ là các số nguyên tố và $n$ là số nguyên dương thỏa mãn

                                      $p^{n}+q^{n}=r^{2}$

Chứng minh: $n=1$.

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $p,q,r$ là các số nguyên tố và $n$ là số nguyên dương thỏa mãn

                                      $p^{n}+q^{n}=r^{2}$

Chứng minh: $n=1$.

Trước hết ta có thể giả sử $q=2$

* Nếu $n$ là số nguyên dương lẻ thì ta có: $p^{n}+2^{n}=\left ( p+2 \right )\left ( \frac{p^{n}+2^{n}}{p+2} \right )=r^{2},$ mà do $r$ là số nguyên tố nên ta phải có: $p+2=\frac{p^{n}+2^{n}}{p+2}=r.$

Nếu $n$ là số lẻ và $n\geq 3$ thì ta có: $\frac{p^{n}+2^{n}}{p+2}> p+2, $ từ đây ta dẫn đến một điều vô lý. Do đó, ta phải có: $n=1.$

* Nếu $n$ là số chẵn, đặt $n=2k, k\in \mathbb{Z}^{+}$ thì từ đây ta có: $\left ( p^{k} \right )^{2}+\left ( 2^{k} \right )^{2}=r^{2},$ mà dễ thấy $p, r$ phải phân biệt nên đây là bộ ba $Phythagore$ nên tồn tại $x, y: \left ( x, y \right )=1$ và $x, y$ khác tính chẵn lẻ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} p^{k}=2xy & & \\ 2^{k}=x^{2}-y^{2} & & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} 2^{k}=2xy & & \\ p^{k}=x^{2}-y^{2} & & \end{matrix}\right.$ Mà $p$ là số nguyên tố nên trường hợp này không xảy ra.

Vậy ta phải có: $n=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 28-10-2017 - 16:34