Chủ đề này có 1 trả lời

[hienhienhien]

cho a+b+c+abc=4

cmr

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c}{\sqrt{b+a}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}.(a+b+c)$

[TrucCumgarDaklak]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sum \frac{a^{2}}{a\sqrt{b+c}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a\sqrt{b+c}}$

Cần chứng minh: $\sum a\sqrt{b+c}\leq \sqrt{2}\left ( a+b+c \right )$

Ta có: $\sum a\sqrt{b+c}=\sum \sqrt{a}\sqrt{ab+ac}\leq \sqrt{2\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}$

Ngoài ra: Với $a+b+c+abc=4\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$ (chứng minh ở đây https://diendantoanh...-abcgeqabbcca/)

$\Rightarrow \sum a\sqrt{b+c}\leq \sqrt{2\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}\leq \sqrt{2\left ( a+b+c \right )^{2}}=\sqrt{2}\left ( a+b+c \right )$$\Rightarrow dpcm$

Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$