Chủ đề này có 2 trả lời

[thuanict]

Cho $a^2+b^2<1$. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm

$(a^2+b^2-1)x^2 -2(ac+bd-1)x+c^2+d^2-1=0$

[tritanngo99]

Cho $a^2+b^2<1$. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm

$(a^2+b^2-1)x^2 -2(ac+bd-1)x+c^2+d^2-1=0$

Đặt $(m;n;p)=(a^2+b^2;c^2+d^2;ac+bd)\implies m\in (0;1);n>0$.

Áp dụng BDT Bunhiacopxki ta có: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd)^2\implies mn\ge p^2\implies -\sqrt{mn}\le p\le \sqrt{mn}$.

Khi đó $pt\iff (m-1)x^2-2(p-1)x+n-1=0$.

TH1: Nếu $n>1$ thì dĩ nhiên phương trình luôn có nghiệm do $(m-1)(n-1)<0$.

TH2: Nếu $0<n\le 1\implies (m-1)(n-1)\ge 0$.

Khi đó ta có: $\Delta'=(p-1)^2-(m-1)(n-1)=(p-1-\sqrt{(m-1)(n-1)})(p-1+\sqrt{(m-1)(n-1)})$

Do $p\in [-\sqrt{mn};\sqrt{mn}],m\in (0;1),n\in (0;1]\implies p\le \sqrt{mn}<1$

$\implies p-1-\sqrt{(m-1)(n-1)}<0(1)$

Bây giờ ta đi chứng minh: $p-1+\sqrt{(m-1)(n-1)}\le 0\iff 1-p\ge\sqrt{(m-1)(n-1)}$.

Ta có: $1-p\ge 1-\sqrt{mn}$.

Lại có: $1-\sqrt{mn}\ge \sqrt{(m-1)(n-1)}\iff (1-\sqrt{mn})^2\ge (m-1)(n-1)\iff m+n\ge 2\sqrt{mn}$(luôn đúng).

 

Từ đây suy ra được: $1-p\ge 1-\sqrt{mn}\ge \sqrt{(m-1)(n-1)}\implies p-1+\sqrt{(m-1)(n-1)}\le 0(2)$

$(1)(2)\implies \Delta'\ge 0\implies Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 17-09-2017 - 15:26

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a^2+b^2<1$. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm

$(a^2+b^2-1)x^2 -2(ac+bd-1)x+c^2+d^2-1=0$

 

Phương trình này luôn có nghiệm $x$ bởi vì biệt thức

\[\Delta^{'}_x = \frac{(abd-b^2c-a+c)^2+(b-d)^2(1-a^2-b^2)}{1-b^2} \geqslant 0.\]