Chủ đề này có 3 trả lời

[laquochiep3665]

1.cho các số thực dươn a,b,c thỏa mãn a+b+c=2017. tìm GTLN của $P=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{4c}{c+1}$

2.cho các số thực dương a,b,c thỏa $a^2+b^2+c^2=3$ tìm GTNN của biểu thức $M=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}$

3.cho các số thực a,b,c khác nhau thỏa $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=6 & & \\ ab+bc+ca=-3 & & \end{matrix}\right.$

chứng minh rằng $a^6+b^6+c^6<66$

4.cho ba số thực dương a,b,c tìm min $P=\frac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$

[DOTOANNANG]

$$P=\frac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}.$$

$$P\geq \frac{2}{a+\frac{1}{4}a+b+\frac{1}{12}a+\frac{1}{3}b+\frac{4}{3}c}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}=\frac{3}{2(a+b+c)}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}.$$

$$P\geq \frac{3}{2t}-\frac{3}{\sqrt{t}}=\left ( \sqrt{\frac{3}{2t}}-\sqrt{\frac{3}{2}} \right )^{2}-\frac{3}{2}\geq - \frac{3}{2}.$$

$$\left ( a+ b+ c= t \right ).$$

[nmtuan2001]

2.cho các số thực dương a,b,c thỏa $a^2+b^2+c^2=3$ tìm GTNN của biểu thức $M=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}$

$$\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \leq \frac{2a+1+4a^2-2a+1}{2}=2a^2+1$$

$$M \geq \sum \frac{1}{2a^2+1} \geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)+3}=1$$

 

3.cho các số thực a,b,c khác nhau thỏa $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=6 & & \\ ab+bc+ca=-3 & & \end{matrix}\right.$

chứng minh rằng $a^6+b^6+c^6<66$

Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0$ nên $a+b+c=0$.

Suy ra $a^2+b^2+(a+b)^2=6$ hay $a^2+ab+b^2=3$.

$a^6+b^6+c^6=a^6+b^6+(a+b)^6=2(a^6+b^6)+6(a^5b+ab^5)+15(a^4b^2+a^2b^4)+20a^3b^3$

$=2(a^2+ab+b^2)^3+3a^2b^2(a+b)^2=54+3a^2b^2(a+b)^2$

Cần chứng minh $a^2b^2(a+b)^2 \leq 4$. Đặt $a^2+b^2=x, ab=y$ thì $x+y=3$.

Do đó $a^2b^2(a+b)^2=y^2(x+2y)=y^2(y+3)=y^3+3y^2$.

$$y^3+3y^2-4=(y-1)(y^2+4y+4)=(y-1)(y+2)^2 \leq 0$$

BĐT đúng vì $2y \leq x$ nên $y \leq 1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 07-02-2018 - 19:10

[nmtuan2001]

1.cho các số thực dươn a,b,c thỏa mãn a+b+c=2017. tìm GTLN của $P=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{4c}{c+1}$

$$P=(1-\frac{1}{a+1})+(1-\frac{1}{b+1})+(4-\frac{4}{c+1})=6-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{4}{c+1})$$

Mà $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{4}{c+1} \geq \frac{(1+1+2)^2}{a+b+c+3}=\frac{16}{2017+3}=\frac{4}{505}$, nên

$$P \leq \frac{3026}{505}$$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{a+1}=\frac{1}{b+1}=\frac{2}{c+1}$, hay $c+1=2(a+1)=2(b+1)$.

$\Rightarrow c=2a+1=2b+1$

Từ đây giải được $a=b=504, c=1009$.