Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$
$\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$
Bắt đầu bởi tritanngo99, 17-09-2017 - 15:10
olp
#1
Đã gửi 17-09-2017 - 15:10
#2
Đã gửi 26-09-2017 - 22:25
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$
Viết bất đẳng thức lại dưới dạng thuần nhất
\[f(a,b,c) = \sum \frac{a+b}{c^2} - \frac{5(a^2+b^2+c^2) -ab-bc-ca}{2abc} \geqslant 0.\]
Giả sử $x,y,z$ là ba số thực dương, áp dụng phép thế Ravi ta có
\[f(a,b,c) = f(x+y,y+z,z+x) \equiv f(x,y,z),\]
và
\[f(x,y,z)= \frac{1}{2(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2} \sum (x^3+3x^2y+5xy^2+y^3+2x(x+y-z)^2)(x-y)^2 \geqslant 0.\]
- tritanngo99 yêu thích
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: olp
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
$P(3+\sqrt{5})=3+\sqrt{5}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 15-01-2019 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $\sum a^2(9b^2+5)+4\sum ab\ge 18abc+36$Bắt đầu bởi tritanngo99, 23-01-2018 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
CMR: $\sum \frac{b}{c^3}+\sum a\ge 2\sum \frac{1}{c^2}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 15-12-2017 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6}\ge (n!)^{\frac{2}{n}}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 09-09-2017 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các kỳ thi Olympic →
Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp. →
Đề thi Trường hè Vinh 2015Bắt đầu bởi Belphegor Varia, 13-08-2015 olp |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh