Chủ đề này có 2 trả lời

[audreyrobertcollins]

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $d,$ tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n! \vdots dn^{2}+1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-10-2017 - 09:08

[I Love MC]

$d(4d+1)$ ko là số chính phương $\Rightarrow x^2-d(4d+1)y^2=1$ có vô hạn nghiệm nguyên dương $(x_k,y_k)$. Xét phương trình $(4d+1)u^2-dn^2=1 (1)$ có nghiệm $(u,n)=(1,2)$ 
Suy ra $(u_k,n_k)=(x_k+2dy_k,2x_k+(4d+1)y_k)$ là nghiệm của $(1)$ 
Nếu $n_k \le 2u_k-1$ thì $(4d+1)u_k^2 \le d(2u_k-1)^2+1$ (vô lí) 
Suy ra $n_k \ge 2u_k$ . Chọn $k$ đủ lớn $n_k \ge 4d+1$ 
Khi đó $(n_k)! \vdots (2u_k).u_k.(4d+1)=2(dn_k^2+1) \vdots (dn_k^2+1)$ với mọi $k$ đủ lớn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 10-10-2017 - 14:00

[AnhTran2911]

Bài này trong sách tài liệu chuyên 12