Đến nội dung

Hình ảnh

$a^2+b^2+4ab+16\ge4c^2-16c+20$ Thi vào 10 LHP Nam Định (Đề Chung)

de thi vao 10 bất đẳng thức lớp 9

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 606 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a\ge -2$, $b\ge -2$ và $a+b+2c=6$. Chứng minh rằng

a) $a^2+b^2+4ab+16\ge4c^2-16c+20$.

b) $\dfrac{4-b^2}{4\left[(c-2)^2+1\right]}-\dfrac{a^2}{(a-b)^2+6ab+16}+5\ge 0$.

 

Đề thi vào 10 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2017 - 2018 (Đề chung)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 18-09-2017 - 21:42

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

 

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com


#2
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a\ge -2$, $b\ge -2$ và $a+b+2c=6$. Chứng minh rằng

a) $a^2+b^2+4ab+16\ge4c^2-16c+20$.

b) $\dfrac{4-b^2}{4\left[(c-2)^2+1\right]}-\dfrac{a^2}{(a-b)^2+6ab+16}+5\ge 0$.

 

Đề thi vào 10 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2017 - 2018 (Đề chung)

Hmm....

a, Do điều kiện bài toán nên ta có a+b=6-2c và $(a+2)(b+2)\geq 0 \rightarrow a^2+b^2+4ab+16=(a+b)^2+2(a+2)(b+2)-4(a+b)+8\geq (a+b)^2-4(a+b)+8=(6-2c)^2-4(6-2c)+8=4c^2-16c+20$ ( Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a=-2 hoặc b=-2

b, Theo a, ta thấy $(a-b)^2+6ab+16\geq 4c^2-16c+20$

Do đó $A=\frac{4-b^2}{4c^2-16c+20}-\frac{a^2}{(a-b)^2+6ab+16}+5\geq \frac{4-b^2-a^2}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4-(a+b)^2+2(a+2)(b+2)-4(a+b)-8}{4c^2-16c+20}+5\geq \frac{4-(a+b)^2-4(a+b)-8}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4-(6-2c)^2-4(6-2c)-8}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4(2c-3)^2}{4c^2-16c+20}\geq 0$ ( Q.E.D)

Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)\in \left \{ (-2,5,\frac{3}{2});(5,-2,\frac{3}{2}) \right \}$


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#3
leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 606 Bài viết

Hmm....

a, Do điều kiện bài toán nên ta có a+b=6-2c và $(a+2)(b+2)\geq 0 \rightarrow a^2+b^2+4ab+16=(a+b)^2+2(a+2)(b+2)-4(a+b)+8\geq (a+b)^2-4(a+b)+8=(6-2c)^2-4(6-2c)+8=4c^2-16c+20$ ( Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a=-2 hoặc b=-2

b, Theo a, ta thấy $(a-b)^2+6ab+16\geq 4c^2-16c+20$

Do đó $A=\frac{4-b^2}{4c^2-16c+20}-\frac{a^2}{(a-b)^2+6ab+16}+5\geq \frac{4-b^2-a^2}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4-(a+b)^2+2(a+2)(b+2)-4(a+b)-8}{4c^2-16c+20}+5\geq \frac{4-(a+b)^2-4(a+b)-8}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4-(6-2c)^2-4(6-2c)-8}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4(2c-3)^2}{4c^2-16c+20}\geq 0$ ( Q.E.D)

Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)\in \left \{ (-2,5,\frac{3}{2});(5,-2,\frac{3}{2}) \right \}$

 

Cảm ơn bạn nhiều nhé, mình đang tổng hợp tài liệu mà phần BĐT mình yếu quá nên đăng lên diễn đàn nhờ giúp đỡ phần này :)


Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

 

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: de thi vao 10, bất đẳng thức lớp 9

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh