Chủ đề này có 3 trả lời

[tcm]

Cho $\triangle ABC$. Đường trung tuyến $AD$, đường cao $BH$, đường phân giác $CE$ đồng quy. Chứng minh đẳng thức: $(BC + CA)(BC^2 + CA^2 - AB^2) = 2BC.CA^2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcm: 21-09-2017 - 06:00

[Nguyen Thanh Long 2k2]

Cho $\triangle ABC$. Đường trung tuyến $AD$, đường cao $BH$, đường phân giác $CE$ đồng quy. Chứng minh đẳng thức: $(BA + CA)(BC^2 + CA^2 - AB^2) = 2BC.CA^2$.

https://diendantoanh...y-tại-một-điểm/

Tham khảo.

[tcm]

https://diendantoanh...y-tại-một-điểm/

Tham khảo.

 

Bên topic đó chỉ có gợi ý, nên mình chưa thể làm được. Bạn có thể cho mình thêm vài gợi ý nữa được không?

[kytrieu]

Cho $\triangle ABC$. Đường trung tuyến $AD$, đường cao $BH$, đường phân giác $CE$ đồng quy. Chứng minh đẳng thức: $(BC + CA)(BC^2 + CA^2 - AB^2) = 2BC.CA^2$.

Mình xin cm như sau

Ta có

$CH^{2}=BC^{2}-BH^{2}=BC^{2}-(AB^{2}-AH^{2})=BC^{2}-AB^{2}+AH^{2}=BC^{2}-AB^{2}+(CA-AH)^{2}\Rightarrow BC^{2}-AB^{2}+AC^{2}=2CA.AH$

$\Rightarrow CH=\frac{BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}}{2AC}$

Cm tương tự ta được $AH=\frac{CA^{2}+AB^{2}-BC^{2}}{2CA}$

$\Rightarrow \frac{CH}{AH}=\frac{BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}}{CA^{2}+AB^{2}-BC^{2}} (1)$

Trong $\bigtriangleup ADC$ có CO là phân giác nên $\frac{OD}{OA}=\frac{CD}{CA}=\frac{BC}{2CA}$ (2)

Từ D kẻ $DK \perp CA$từ đây suy ra $BH\parallel DK$

$\Rightarrow \frac{OD}{OA}=\frac{KH}{KA}=\frac{CH}{2HA}$ (3)

Từ (1);(2);(3) suy ra $\frac{BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}}{CA^{2}+AB^{2}-BC^{2}}=\frac{BC}{CA}$

$\Rightarrow \frac{BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}}{2CA^{2}}=\frac{BC}{BC+CA}$

Từ đây suy ra đpcm