Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn học sinh giỏi THPT Khoa Học Tự Nhiên 2017-2018

đề thi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 19-09-2017 - 15:40

Ngày 1:

Bài 1: Cho $(a_n)$ xác định bởi công thức sau: $ a_0=1, a_1=4, a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1} $. Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của $2017$.

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.

Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ là hình chiếu của $A$ lên $CB,CD$. $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,AD,CH,CK$. $S,T$ lần lượt thuộc $AH,AK$ sao cho $PS \perp PM, QT \perp QN$. $AP,AQ$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E,F$. Chứng minh rằng $SE,TF$ cắt nhau trên $(O)$.

Bài 4: Cho 2017 số 0 nằm trên hàng ngang. Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp và tăng những số đó lên 1 đơn vị. Hỏi sau một số hữu hạn bước, trên hàng ngang có nhiều nhất bao nhiêu số bằng nhau?

 

 

 

 

 

Ngày 2:

Bài 5:  Cho n là số nguyên dương. Giả sử phương trình $\frac {1}{\sqrt [3]{x}} + \frac {5}{\sqrt [7]{y}} = \frac {1}{n}$ có m cặp nghiệm nguyên dương $(x,y)$ và m-1 là số chính phương. Chứng minh rằng n là số chính phương.

Bài 6: Cho 2 đường tròn $(O),(K)$ cắt nhau tại $A,B$ và $K$ nằm trên $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $(K)$ lần thứ hai tại $P$, $PB$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. Một đường thẳng bất kỳ qua $P$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $AP$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng $R,Q,K,C$ thuộc cùng đường tròn.

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng:

$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SonKHTN1619: 19-09-2017 - 15:44

HSGS in my heart  :icon12:


#2 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 19-09-2017 - 19:38

$\frac{2(a^{2}+b)(b^{2}+a)}{(a+b-1)^{2}}\geq \frac{4a+4b-1}{2}$

 

 

 

Làm sao để suy ra bất đẳng thwucs này vậy nhỉ?



#3 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 19-09-2017 - 21:19

P4 D2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SonKHTN1619: 19-09-2017 - 21:22

HSGS in my heart  :icon12:


#4 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 19-09-2017 - 22:02

P1: Dùng số hạng tổng quát và Fermat ?


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#5 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 20-09-2017 - 20:56

Ngày 1:

Bài 1: Cho $(a_n)$ xác định bởi công thức sau: $ a_0=1, a_1=4, a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1} $. Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của $2017$.

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.

Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ là hình chiếu của $A$ lên $CB,CD$. $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,AD,CH,CK$. $S,T$ lần lượt thuộc $AH,AK$ sao cho $PS \perp PM, QT \perp QN$. $AP,AQ$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E,F$. Chứng minh rằng $SE,TF$ cắt nhau trên $(O)$.

Bài 4: Cho 2017 số 0 nằm trên hàng ngang. Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp và tăng những số đó lên 1 đơn vị. Hỏi sau một số hữu hạn bước, trên hàng ngang có nhiều nhất bao nhiêu số bằng nhau?

 

 

 

 

 

Ngày 2:

Bài 5:  Cho n là số nguyên dương. Giả sử phương trình $\frac {1}{\sqrt [3]{x}} + \frac {5}{\sqrt [7]{y}} = \frac {1}{n}$ có m cặp nghiệm nguyên dương $(x,y)$ và m-1 là số chính phương. Chứng minh rằng n là số chính phương.

Bài 6: Cho 2 đường tròn $(O),(K)$ cắt nhau tại $A,B$ và $K$ nằm trên $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $(K)$ lần thứ hai tại $P$, $PB$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. Một đường thẳng bất kỳ qua $P$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $AP$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng $R,Q,K,C$ thuộc cùng đường tròn.

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng:

$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$

                        Gọi Giao CK và AP là T

                        Gọi RN giao QM là H

        Dễ thấy: TK.TC=TA^2 
Lại có: KAP cân tại K => <KAP=KPA = <KCA=<KCB (DO CK là Phân giác ACB)

=> TK.TC=TP^2

=> TP=TA 

Đường trong O là đường tròn nội tiếp Tam giác HQR nên ba đường RM,HA,QN đồng qui tại điểm Lemone

               =>  (PAQT)=-1 Mà T là TĐ PA => TQ.TR=TA^2=TK.TC  ------->  RQKC nội tiếp                                      



#6 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 21-09-2017 - 00:48

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.

 

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng:

$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$

Bài 2. 

Dễ thấy $P(x)=(x^3-3)Q(x)+2017$

Đặt $Q(x)=a_{n} x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0$ 

$P(x)=a_{n} x^{n+3}+a_{n-1} x^{n+2} +a_{n-2} x^{n+1} +( a_{n-3}-3a_{n} ) x^n+(a_{n-4}-3a_{n-1}) x^{n-1}+...+(a_{0}-3a_{3})x^3-3a_{2} x^2 -3a_{1} x +2017 - 3a_{0}$

Do $P(x)$ có hệ số không âm nên ta phải có hệ
$$\left\{\begin{matrix} a_{n},a_{n-1},a_{n-2} \geq 0\\ a_{n-3} \geq 3a_{n}\geq 0\\ ...\\ a_{0} \geq 3 a_{3} \geq 0\\ a_1 ,a_2 \leq 0\\ a_0 \leq \dfrac{2017}{3}\\ \end{matrix}\right.$$

Cho ta các nghiệm nguyên không âm $a_{n}=a_{n-1}=...=a_{1}=0$ hay $Q(x)=a_0=c \leq 672$ là hàm hằng. 

$P(1)=c+2017-3c=2017-2c \geq 673$

Dấu "=" xảy ra khi $P(x)=672 x^3 +1$

Bài 7. 

$VT=f(a,b,c) \geq f(|a|,|b|,|c|)$nên ta chỉ cần chứng minh trong TH a,b,c không âm. 

KMTTQ, $a \geq b \geq c$

$f(a,b,c)=\sum \dfrac{(a-b)(a-c)(a+b)(a+c)}{(b+c)^2}$

Dễ thấy $\dfrac{(a+b)(a+c)}{(b+c)^2} \geq \dfrac{(b+a)(b+c)}{(c+a)^2}$ 

nên theo bất đẳng thức Vornicul-Schur ta có đpcm.

 

#Ps: 2 bài hình vòng 1 năm nay có vẻ không thấm lắm :V 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 21-09-2017 - 00:49


#7 vda2000

vda2000

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{Bac Giang gifted High School}}$
  • Sở thích:$\boxed{\boxed{\rightarrow\bigstar\epsilon\delta\mu\bigstar\leftarrow}}$

Đã gửi 21-09-2017 - 07:31

Bài 2. 

Dễ thấy $P(x)=(x^3-3)Q(x)+2017$

Đặt $Q(x)=a_{n} x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0$ 

$P(x)=a_{n} x^{n+3}+a_{n-1} x^{n+2} +a_{n-2} x^{n+1} +( a_{n-3}-3a_{n} ) x^n+(a_{n-4}-3a_{n-1}) x^{n-1}+...+(a_{0}-3a_{3})x^3-3a_{2} x^2 -3a_{1} x +2017 - 3a_{0}$

Do $P(x)$ có hệ số không âm nên ta phải có hệ
$$\left\{\begin{matrix} a_{n},a_{n-1},a_{n-2} \geq 0\\ a_{n-3} \geq 3a_{n}\geq 0\\ ...\\ a_{0} \geq 3 a_{3} \geq 0\\ a_1 ,a_2 \leq 0\\ a_0 \leq \dfrac{2017}{3}\\ \end{matrix}\right.$$

Cho ta các nghiệm nguyên không âm $a_{n}=a_{n-1}=...=a_{1}=0$ hay $Q(x)=a_0=c \leq 672$ là hàm hằng. 

$P(1)=c+2017-3c=2017-2c \geq 673$

Dấu "=" xảy ra khi $P(x)=672 x^3 +1$

$P(x)=1+2x^6+2x^9+2x^{15}+2x^{18}$ $P(\sqrt[3]{3})=2017, P(1)=9<674$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 21-09-2017 - 07:31

$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$

If you see this, you will visit my facebook.....!


#8 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 21-09-2017 - 20:35

Ý mình 

 

là sao nghĩ ra ấy



#9 audreyrobertcollins

audreyrobertcollins

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-09-2017 - 00:02

bài 1 cũng có thể dùng số hạng tổng quát và số chính phương mod cũng được



#10 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 23-09-2017 - 10:29

Bổ đề. Với ba số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a\ne 0$ hoặc $b\ne 0$ và số nguyên $x$ thỏa $a\sqrt[3]{x^2}+b\sqrt[3]{x}+c=0$ thì $x$ là lập phương của một số nguyên.

Chứng minh. Ta có $2a\sqrt[3]{x}=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}$ nên $8a^3x=-b^3\pm 3b^2\sqrt{b^2-4ac}-3b(b^2-4ac)\pm (b^2-4ac)\sqrt{b^2-4ac}$

Do đó $(b^2-ac)\sqrt{b^2-4ac}\in \mathbb{Q}$.

Nếu $b^2-ac=0$ thì do $b^2-4ac\geqslant 0$ nên $b=c=0$ nên $\sqrt[3]{x^2}\in\mathbb{Q}$ nên $\sqrt[3]{x^2}\in \mathbb{Z}$

Do đó $x^2=t^3$ nên $x=y^3$

Nếu $b^2-ac>0$ thì $\sqrt{b^2-4ac}\in \mathbb{Q}$ nên $\sqrt[3]{x}\in \mathbb{Q}$ nên $\sqrt[3]{x}\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=y^3$

Bổ đề được chứng minh.

 

Bài 2. Thay $x=\sqrt[3]{3}$ vào và áp dụng bổ đề trên ta suy ra $P(x)=a_0+a_1.x^{3}+a_2.x^{6}+...+x_n.x^{3n}$

Ta có điều kiện: $a_0+3a_1+3^2.a_2+...+3^n.a_n=2017$

Nếu $a_i\geqslant 3$ thì bộ $(a_0, a_1, ..., a_i-3, a_{i+1}+1, ..., a_n)$ có tổng bé hơn.

Khi đó tất cả các số $a_i$ phải bé hơn $3$ nên khi viết $2017$ ta hệ tam phân thì ta được đa thức sau là đa thức cần tìm.

$P(x)=1+2x^6+2x^9+2x^{15}+2x^{18}$

 

Bài 5. Ta có: $\left(1-\dfrac{n}{x}.\sqrt[3]{x^2}\right)^7=\dfrac{(5n)^7}{y}\in \mathbb{Q}$

Chú ý là $1>\dfrac{n}{x}$ nên tồn tại $a,b,c$ nguyên thỏa mãn $a\ne 0$ và $a\sqrt[3]{x^2}+b\sqrt[3]{x}+c=0$

Áp dụng bổ đề ta suy ra $x=a^3$, từ đó suy ra $y=b^7$

Do đó ta viết lại phương trình: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{5}{b}=\dfrac{1}{n}$ hay $(a-n)(b-5n)=5n^2$

Đặt $n=5^kp_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t}$ thì số nghiệm sẽ là $2(k+1)(2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_t+1)=c^2+1$

Do $c^2+1$ không chia hết cho $4$ nên $k+1$ lẻ nên $k$ chẵn.

Nếu $a_i$ lẻ thì $2a_i+1$ có dạng $4k+3$ nên tồn tại ước nguyên tố $p$ của $c^2+1$ có dạng $4k+3$, vô lý.

Vậy $a_i$ chẵn và $k$ chẵn nên $n$ là số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 23-09-2017 - 10:30

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#11 QQspeed22

QQspeed22

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-09-2017 - 19:07

Bài 2. Thay $x=\sqrt[3]{3}$ vào và áp dụng bổ đề trên ta suy ra $P(x)=a_0+a_1.x^{3}+a_2.x^{6}+...+x_n.x^{3n}$

Tại sao lại có được điều này ?



#12 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 23-09-2017 - 19:52

Tại sao lại có được điều này ?

 

$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$, khi đó $201=P\left(\sqrt[3]{3}\right)=(a_0+3a_3+...)+(a_1+3a_4+...)\sqrt[3]{3}+(a_2+3a_5+...)\sqrt[3]{3^2}$

Áp dụng bổ đề ta suy ra $a_1+3a_4+...=a_2+3a_5+...=0$ nên chỉ còn các mũ chia hết cho $3$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#13 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-09-2017 - 23:18

Bài 4 số số lớn nhất là 2014 , điều này xảy ra khi đổi 1 - 2010 1 lượt rồi đổi 2008-2017 .

 

Ta xét Si là tổng các số có vị trí i đồng dư theo mod 10 . Bất biến là nếu 1 lượt biến đổi thì các Si đều bằng nhau :)







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đề thi

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh