Chứng minh tồn tại số A chia hết cho $3^{2017}$ và có tổng các chữ số bằng $9.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-10-2017 - 09:09
Chứng minh tồn tại số A chia hết cho $3^{2017}$ và có tổng các chữ số bằng $9.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-10-2017 - 09:09
Chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì tồn tại $x$ nguyên dương sao cho $3^n| 10^x+2$
Kiểm tra $n=1,2,3$. Giả sử với $n$ thì tồn tại $x$ thỏa. Xét $n+1$
Nếu $3^{n+1} | 10^x+2$ thì có đpcm. Xét $3^{n+1}$ không là ước $10^x+2$ thì do $10^x+2$ chia hết $3^n$ nên $10^x+2 \equiv 3^n;2.3^n (mod 3^{n+1})$
Xét hai số $3^{n-2}k$ và $3^{n-2}(k+1)$ trong đó $(k,3)=(k+1,3)=1$
Áp dụng bổ đề $LTE$ thì $v_3(10^{3^{n-2}k} -1)=v_3(10^{3^{n-2}(k+1)} -1)=n$
Do đó $10^{3^{n-2}k} -1;10^{3^{n-2}(k+1)} -1 \equiv 3^n;2.3^n (mod 3^{n+1})$
Mặt khác giả sử $10^{3^{n-2}k} -1 \equiv 10^{3^{n-2}(k+1)}-1 (mod 3^{n+1})$ suy ra $ 10^{3^{n-2}}-1$ chia hết $3^{n+1}$
Vô lý vì $v_3(10^{3^{n-2}} -1)=n < n+1$. Vậy $10^{3^{n-2}k} -1;10^{3^{n-2}(k+1)} -1$ nhận các số dư $mod 3^{n+1}$ khác nhau và thuộc $3^n;2.3^n$.
Nếu $10^x+2 \equiv 3^n (mod 3^{n+1})$. Chọn $d=3^{n-2}k$ nếu $10^{3^{n-2}k} -1 \equiv 2.3^n (mod 3^{n+1})$ hoặc $d=3^{n-2}(k+1)$ nếu $10^{3^{n-2}(k+1)} -1 \equiv 2.3^n (mod 3^{n+1})$
Lúc đó $2(10^d-1) \equiv 4.3^n \equiv 3^n.10^d (mod 3^{n+1})$. Đặt $x'=x+d$
Từ $10^x+2 \equiv 3^n (mod 3^{n+1})$ suy ra $10^{x'}+2.10^d \equiv 3^n.10^d \equiv 2(10^d-1) (mod 3^{n+1})$
Suy ra $10^{x'}+2 $ chia hết $3^{n+1}$
Nếu $10^x+2 \equiv 2.3^n (mod 3^{n+1})$. Chọn $d=3^{n-2}k$ nếu $10^{3^{n-2}k} -1 \equiv 3^n (mod 3^{n+1})$ hoặc $d=3^{n-2}(k+1)$ nếu $10^{3^{n-2}(k+1)} -1 \equiv 3^n (mod 3^{n+1})$ thì lý luận như trên cũng ra
Tóm lại theo quy nạp , nhận xét chứng minh .
Quay lại bài toán , tồn tại $k$ sao cho $3^{2017} |10^k+2| 3.10^k+6$
Dễ thấy tổng các chữ số $3.10^k+6$ là $9$
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh