Chủ đề này có 1 trả lời

[letnotfallinlove]

Cho dãy số $u_{1}=b và u_{n+1} = u_{n}^{2} + (1-2a)u_{n} + a^{2}$

 Tìm a, b để dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giá trị đó?

 

[An Infinitesimal]

Cho dãy số $u_{1}=b và u_{n+1} = u_{n}^{2} + (1-2a)u_{n} + a^{2}$

 Tìm a, b để dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giá trị đó?

 

Vài nhận xét:

 

1/ Dãy tăng, 

2/ Giới hạn nếu có của dãy là $a$.

 

Giới hạn của dãy tăng chính là một chặn trên của dãy. Do đó, ta thử ràng buộc $u_2 \le a$ hay  $(b-ạ)^2\le a-b$. Do đó $0\le a-b\le1$. 

 

Với $a, b$ thỏa $0\le a-b\le 1.$

Đặt $f(x)=x+(x-a)^2.$ Nhận xét: Nếu $x\in [b,a]$ thì $f(x)\in [b,a].$

 

Do đó,bằng phương pháp quy nạp, ta có $u_n \le a \forall n\in \mathbb{N}.$ 

 

Kết hợp với 1/, ta suy ra dãy $\{u_n\}$ hội tụ và  dễ dàng kiểm tra dãy hội tụ về $a.$