Nguồn lượm trên FB
Mặt trời mọc rồi lặn,mặt trăng tròn rồi lại khuyết nhưng ánh sáng mà người thầy rọi vào ta sẽ còn mãi trong cuộc đời!
2) Bổ đề : $a,b,c$ không âm . Lúc đó ta có $a^2b+b^2c+c^2a+abc \le \frac{4}{27}(a+b+c)^3$
Chứng minh. Giả sử $b$ nằm giữa $a,c$ lúc đó ta có $(b-a)(b-c) \le 0 \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc \leq b(a+c)^2=\frac{1}{2}2b(a+c)(a+c) \le \frac{1}{2}.\frac{(2b+a++a+c)^3}{27}=\frac{4}{27}(a+b+c)^3$
Áp dụng vào bài toán ta có $a^2b+b^2c+c^2a \le \frac{4}{27}(a+b+c)^3-abc$
Ta chứng minh $(a+b+c)(a+b+c-abc) \ge \frac{8}{27}(a+b+c)^3-2abc$ hay $(a+b+c)^2-abc(a+b+c-2) \ge \frac{8}{27}(a+b+c)^3$
Có $a+b+c \ge \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3} \ge 3abc$suy ra $(a+b+c)^2-abc(a+b+c-2) \ge (a+b+c)^2-\frac{a+b+c}{3}(a+b+c-2)=t^2.\frac{2}{3}+t.\frac{2}{3}$. Ta chưngs minh $t^2+t \ge \frac{4}{9}t^3 \Leftrightarrow 0 \le t \le 3$. Đúng. Vậy ta có đpcm
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh