Chủ đề này có 2 trả lời

[uchiha hitachi]

 với mọi số thực a,b sao cho $a+b\geq 0$ ,$n\epsilon N^{*}$ ,chứng minh : 

$\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{n}$ 

[Duy Thai2002]

Xài qui nạp

n=1 $\frac{a+b}{2}\geq \frac{a+b}{2}$ (đúng)

Giả sử mệnh đề trên đúng với mọi n. Ta cần cm nó đúng với n+1 hay:

$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{n+1}$

Thật vậy, ta có:

$(\frac{a+b}{2})^{n+1}\leq \frac{(a+b)(a^{n}+b^{n})}{4}$

Ta cần cm: 

$\frac{(a+b)(a^{n}+b^{n})}{4}\leq (\frac{a+b}{2})^{n+1}$

<=> $(a-b)(a^{n}-b^{n})\geq 0$(*)

Ta có: a+b$\geq 0$ 

$=> \begin{bmatrix}a\geq \left | b \right |\geq b & \\ & b\geq \left | a\right |\geq a \end{bmatrix}$

$=> (*)$ luôn đúng dẫn đến mệnh đề đúng với n+1. Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.

[uchiha hitachi]

Xài qui nạp

n=1 $\frac{a+b}{2}\geq \frac{a+b}{2}$ (đúng)

Giả sử mệnh đề trên đúng với mọi n. Ta cần cm nó đúng với n+1 hay:

$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{n+1}$

Thật vậy, ta có:

$(\frac{a+b}{2})^{n+1}\leq \frac{(a+b)(a^{n}+b^{n})}{4}$

Ta cần cm: 

$\frac{(a+b)(a^{n}+b^{n})}{4}\leq (\frac{a+b}{2})^{n+1}$

<=> $(a-b)(a^{n}-b^{n})\geq 0$(*)

Ta có: a+b$\geq 0$ 

$=> \begin{bmatrix}a\geq \left | b \right |\geq b & \\ & b\geq \left | a\right |\geq a \end{bmatrix}$

$=> (*)$ luôn đúng dẫn đến mệnh đề đúng với n+1. Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.

cho mik hỏi đoạn kế cuối là a+b>=0 ý s => 2 TH kia z? ghi chi tít jup mik