Chủ đề này có 1 trả lời

[hienhienhien]

tim so nguyen to p va q thoa man p^3-q^7=p-q

 

[tritanngo99]

Tìm số nguyên tố $p$ và $q$ sao cho $p^3-q^7=p-q$.

Lời giải: Ta có: $p^3-q^7=p-q\iff p^3-p=q^7-q(1)$.

+ TH1: Nếu $q=2\implies (1)\iff p^3-p=126\implies$ không có giá trị nguyên nào của $p$ thỏa mãn.

+ TH2: Nếu $q=3\implies (1)\iff p^3-p=2184\implies$ chỉ có $p=13$ là giá trị duy nhất thỏa mãn.

+TH3:  Nếu $q\ge 5$. Khi đó ta dễ dàng chứng minh được $q^7>(q+1)^6(1)$.

 Bây giờ, ta giả sử: $p\le (q+1)^2$. Khi đó: $q^7-q=p^3-p=p(p^2-1)\le (q+1)^2[(q+1)^4-1]=(q+1)^6-q-1$ và từ đây ta suy ra được: $q^7\le (q+1)^6\implies$ mâu thuẩn (do $(1)$).

Vì vậy, ta có: $p>(q+1)^2$. 

Ta lại có: $p|q^7-q=q(q-1)(q+1)(q^2+q+1)(q^2-q+1)$. 

$\implies p$ phải là ước của một trong các nhân tử trên.

Mà do $p>(q+1)^2>q^2+q+1$ là nhân tử lớn nhất trong các nhân tử trên.

Nên từ đây ta suy ra được mâu thuẩn.

Kết luận: Phương trình đã cho có $1$ nghiệm duy nhất là $(p,q)=(13,3)$.