Chủ đề này có 5 trả lời

[NguyenHieuNghia]

Bài 1: Cho các số thực a,b,c thỏa ab+7bc+ca=188. Tìm GTNN $P= 5a^{2}+11b^{2}+5c^{2}$

Bài 2: Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Tìm GTNN a²+b²+c³

[Nguyen Dang Khoa 17112003]

a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3 =3

[supernatural1]

a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3 =3

nhìn kỹ bạn ơi là $ c^{3} $ chứ ko phải $ c^{2} $ đâu

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 1: Cho các số thực a,b,c thỏa ab+7bc+ca=188. Tìm GTNN $P= 5a^{2}+11b^{2}+5c^{2}$

Bài 2: Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Tìm GTNN P = a²+b²+c³

 

Bài 1. Ta có

\[5a^2+11b^2+5c^2-2(ab+7bc+ca) = \frac15(5a-b-c)^2+\frac65(3b-2c)^2 \geqslant 0.\]

Bài 2. Đặt $z = \frac{\sqrt{37}-1}{6} > 0,$ theo bất đẳng thức AM-GM ta có $c^3 \geqslant \frac{3z}{2}c^2-\frac{z^3}{2},$ và

\[a^2+b^2+\frac{3z}{2}c^2 - \frac{27z}{2(3z+1)} \cdot \frac{(a+b+c)^2}{9} = \frac{(3az-3bz-3cz+2a)^2+(3z+1)(2b-3cz)^2}{(3z+2)(6z+2)} \geqslant 0.\]

Do đó

\[P \geqslant a^2+b^2+\frac{3z}{2}c^2-\frac{z^3}{2} \geqslant \frac{27z}{2(3z+1)} - \frac{z^3}{2} = \frac{541-\sqrt{37^3}}{108}.\]

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{19-\sqrt{37}}{12},c=\frac{\sqrt{37}-1}{6}.$

[supernatural1]

Cháu đoán dồn biến =))) Nhưng tuần sau cháu mới cày được =))

Bài này dùng hàm số là ra ý mà ( dồn biến )

[nguyenphihungctdhkhhue0508]

Bài 1. Ta có

\[5a^2+11b^2+5c^2-2(ab+7bc+ca) = \frac15(5a-b-c)^2+\frac65(3b-2c)^2 \geqslant 0.\]

Bài 2. Đặt $z = \frac{\sqrt{37}-1}{6} > 0,$ theo bất đẳng thức AM-GM ta có $c^3 \geqslant \frac{3z}{2}c^2-\frac{z^3}{2},$ và

\[a^2+b^2+\frac{3z}{2}c^2 - \frac{27z}{2(3z+1)} \cdot \frac{(a+b+c)^2}{9} = \frac{(3az-3bz-3cz+2a)^2+(3z+1)(2b-3cz)^2}{(3z+2)(6z+2)} \geqslant 0.\]

Do đó

\[P \geqslant a^2+b^2+\frac{3z}{2}c^2-\frac{z^3}{2} \geqslant \frac{27z}{2(3z+1)} - \frac{z^3}{2} = \frac{541-\sqrt{37^3}}{108}.\]

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{19-\sqrt{37}}{12},c=\frac{\sqrt{37}-1}{6}.$

 

Mình giải thích thêm một chút về bài 2. Lời giải thiếu tính tự nhiên, và nhiều bạn mới làm quen sẽ không hiểu vì sao lại chọn:

$ z = \frac{\sqrt{37}-1}{6} $

 

Khi nhìn vào bài toán tìm GTNN với các giả thiết như trên ta nhận định ngay rằng phương pháp giải sẽ áp dụng BĐT AM-GM (Cauchy/ Côsi). Ở đây mình giả thiết rằng, P đạt được giá trị nhỏ nhất khi:

$ a = x > 0 $

$ b = y > 0 $

$ c = z> 0 $

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$a^2 + x^2 \geqslant 2ax$

$b^2 + y^2 \geqslant 2by$

$c^3 + z^3 + z^3 \geqslant 3cz^2$

Cộng vế theo vế ta được: 

$(a^2 + b^2 + c^3) + (x^2 + y^2 + 2z^3) \geqslant 2ax + 2by + 3cz^2$

Như vậy ta cần xác định $x,y,z$ thỏa mãn:

$2x = 2y = 3z^2 (1) $

Mặt khác ta có:

$ x + y + z = 3 $, thay $(1)$ theo biến z vào ta được:

$ 2x + 2y + 2z = 6 <--> 3z^2 + 3z^2 + 2z = 6 <--> 3z^2 + z - 3 = 0 $

Với $z > 0$, giải phương trình trên ta được:

$ z = \frac{\sqrt{37}-1}{6} $

 

Thay vào ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của P.

Như vậy, bài toán đã được giải quyết. Bạn có thể trình bày theo cách này hoặc trình bày theo cách của bạn "Nguyenhuyen_AG" khi xác định được z (làm nháp).

 

Cách giải này có thể áp dụng để giải quyết được nhiều bài toán với dạng tổng quát.

 

Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3. $ Tìm GTNN của $ S = a^m + b^n + c^p $ với $m,n,p$ là các số nguyên dương cho trước hoặc tổng quát hơn nữa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenphihungctdhkhhue0508: 26-09-2017 - 13:10