Lời giải bài 1 của em
Goij $U,V$ lần lượt là đối xứng của $E,F$ qua $(O)$ .Gọi $D$ là giao điểm của $AI$ với đường tròn $(O)$
Khi đó ta có $A,M,U$ thẳng hàng và $A,N,V$ thẳng hàng . Hơn nữa , do $DE,DF , EF$ lần lượt là trung trực $IC,IB,IA$ nên $D,M,E$ thẳng hàng , $D,N,F$ thẳng hàng và $E,J,F$ thẳng hàng
Gọi $Z,T$ lần lượt là đối xứng của $A$ qua $Q,R$ , suy ra $Z,T$ là giao điểm của đường thẳng qua $I$ song song $BC$ với $CA,AB$
Do $IZ \parallel BC$ nên $\angle ZIC = \angle ICB = \angle ZCI$ , suy ra $ZI = ZC$ nên $Z$ nằm trên trung trực $IC$ . Từ đây có $Z,D,E$ thẳng hàng
Chứng minh tương tự ta cũng có $F,T,D$ thẳng hàng
Ta có $CU \parallel ZM , CB \parallel ZT$ nên $\triangle AZT \cap M \sim \triangle ABC \cap U$ , từ đây có $M$ là điểm chính giữa cung lớn của đường tròn $(AZT)$
Chứng minh tương tự ta nhận được $M,N$ là 2 điểm chính giữa cung lớn của $(AZT)$
Gọi $X,S$ lần lượt là đối xứng của $A$ qua $EN , FM$ và gọi $G$ là giao điểm của $ZX,ST$ , $H,L$ lần lượt là giao điểm của $FM,EN$ với $(AZT)$
Do $N$ là điểm chính giữa cung lớn nên $\angle NLA = \angle NLZ$ , từ đây ta suy ra $LZ$ đi qua điểm đối xứng của $A$ qua $LN$ , tức là $L,Z,X$ thẳng hàng
Chứng minh tương tự ta có $H,T,S$ thẳng hàng
Áp dụng định lý Pascal cho bộ $6$ điểm $(HNTZML)$ , ta có $HL,EF,BC$ đồng quy tại $Y$
Do $EF$ là trung trực $AI$ nên $Y$ chính là chân tiếp tuyến kẻ từ $A$ của $\triangle AZT$
$YA$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $Y,A$ liên hợp trong $(O)$ . $G$ là giao điểm của $HZ,L$ , $Y$ là giao điểm của $HL,ZT$ nên $G,Y$ liên hợp
Suy ra $AG$ là đường đối cực của $Y$ . Gọi $AG$ cắt $(AZT)$ tại $D_a$ thì $YD_a$ cũng là tiếp tuyến
Từ đây có $AZD_aT$ là tứ giác điều hòa nên $AG$ là đường đối trung của $(AZT)$
Suy ra $AP$ là đường đối trung của $\triangle ABC$ nên $AP$ đi qua điểm cố định là giao 2 tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$