Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn học sinh giỏi THPT Khoa Học Tự Nhiên 2017-2018

đề thi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 24-09-2017 - 21:14

Ngày 3:

Bài 1: Cho dãy $(a_n),n \geq 0$ thỏa mãn: $a_0 = \frac {1}{3}, a_{n+1} = \frac {a_n^2}{1-2a_n^2}$. Đặt $b_n = \frac {a_0a_1...a_n}{a_{n+1}}$. Chứng minh rằng $(b_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 2: Tìm $f: R -> R$ thỏa mãn $f((x-y)f(x)-f(y)) + (x+1)f(y-x) + x = 0$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $M $là điểm bất kỳ nằm trên cạnh $BC$. Đường đối trung góc $M$ của $\Delta MAB, \Delta MAC$ cắt $(MAB),(MAC)$ lần thứ hai lần lượt tại $Q,R$. $P$ là điểm nằm trên đường thẳng $BC$ thỏa mãn $AP \perp AM$. Gọi $\Gamma $ là tiếp tuyến chung gần $A$ hơn của $(MAB), (MAC)$. Chứng minh rằng $\Gamma $ tiếp xúc $(PQR)$.

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum{\frac {a^3}{b^2-bc+c^2} }$ + $\frac{9}{2(ab+bc+ca)} \geq \frac{9}{2}$ 

 

 

 

 

 

 

 

Ngày 4:

Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mọi k nguyên dương, tồn tại m nguyên dương sao cho n là ước của $m^4+m^3+m^2+k$.

Bài 6: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. $M,N$ là 2 điểm trên cung $BC$ không chứa $A$ thỏa mãn $MN//BC$ và tia $AM$ nằm giữa 2 tia $AB,AN$. $P,Q$ là hình chiếu của $M,N$ lên $BC$.$E,F$ trên $CA,AB$ thỏa mãn $QE//AB,PF//AC$. $K,L$ lần lượt nằm trên $AN,AM$ sao cho $EK \perp AC, FL \perp AB$. Chứng minh rằng $OK=OL$.

Bài 7: Cho $n \geq 2$ là số nguyên dương. Ta xét đa giác đều 2n đỉnh. Ta điền các số 0, 1 vào các đỉnh thỏa mãn số số 0 bằng số số 1. Ta gọi tập 2k đỉnh là cân nếu trong 2k đỉnh đó, số số 0 bằng số số 1, k nguyên dương.

a/ Chứng minh rằng với mỗi $1 \leq k \leq n$, luôn luôn tồn tại một tập cân có độ dài 2k.

b/ Chứng minh rằng nếu $k \leq \sqrt {2n+2} - 2$, luôn luôn tồn tại 2 tập cân 2k không có đỉnh chung.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SonKHTN1619: 24-09-2017 - 21:18

HSGS in my heart  :icon12:


#2 audreyrobertcollins

audreyrobertcollins

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-09-2017 - 20:55

bài pth có vẻ dễ xơi nhất 

dễ có f là một hàm đơn ánh ta chia 2 th như sau

th1 f(0)=-1 lúc này thay lần lượt x=y và x=0 rồi cho x=-f(x) ta tính được f(x)=-1 thử lại ktm

th2 f(0) khác 1 suy ra f là toàn ánh rồi suy ra f song ánh nên tồn tại duy nhất số thực a thỏa f(a)=0  

thế vào ta tính được a=0 hoặc f(0)=-1(đưa về th1)

khi a=0 hay ta có f(0)=a

thế lần lượt x=y,x=0 ta suy ra f(x)=x mọi x thực thử lại ta thấy thỏa vậy f(x)=x là nghiệm của bài toán



#3 audreyrobertcollins

audreyrobertcollins

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-09-2017 - 21:43

bài bất sử dụng bất đẳng thức chebyshev trực tiếp đoạn cuối có đánh giá một chút về hàm ta được đpcm bất đẳng thức xảy ra khi 3 số bằng nhau và bằng 1



#4 ChienThanga1k49

ChienThanga1k49

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 25-09-2017 - 21:52

bài pth có vẻ dễ xơi nhất 

dễ có f là một hàm đơn ánh ta chia 2 th như sau

th1 f(0)=-1 lúc này thay lần lượt x=y và x=0 rồi cho x=-f(x) ta tính được f(x)=-1 thử lại ktm

th2 f(0) khác 1 suy ra f là toàn ánh rồi suy ra f song ánh nên tồn tại duy nhất số thực a thỏa f(a)=0  

thế vào ta tính được a=0 hoặc f(0)=-1(đưa về th1)

khi a=0 hay ta có f(0)=a

thế lần lượt x=y,x=0 ta suy ra f(x)=x mọi x thực thử lại ta thấy thỏa vậy f(x)=x là nghiệm của bài

 

bài pth có vẻ dễ xơi nhất 

dễ có f là một hàm đơn ánh ta chia 2 th như sau

th1 f(0)=-1 lúc này thay lần lượt x=y và x=0 rồi cho x=-f(x) ta tính được f(x)=-1 thử lại ktm

th2 f(0) khác 1 suy ra f là toàn ánh rồi suy ra f song ánh nên tồn tại duy nhất số thực a thỏa f(a)=0  

thế vào ta tính được a=0 hoặc f(0)=-1(đưa về th1)

khi a=0 hay ta có f(0)=a

thế lần lượt x=y,x=0 ta suy ra f(x)=x mọi x thực thử lại ta thấy thỏa vậy f(x)=x là nghiệm của bài toán

bạn ơi tại sao đơn ánh ???



#5 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 25-09-2017 - 22:13

Bài 3 có vẻ khó nhai, thôi xử bài 6 trước vậy >.< 

 

Kẻ $MX \perp AB, NY \perp AC$

Gọi $S,T$ là trung điểm $NC,MB$

 

Dễ có $PB=QC,MB=NC$. 

$\dfrac{BF}{BA}=\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{CQ}{CB}=\dfrac{CE}{CA}$

Vậy $EF \parallel BC$

 

Do đó $EFBC$ là hình bình hành nên $EF=PC$

Cũng có $ST=\dfrac{MN+BC}{2}=PC$ nên $EFTS$ cũng là hình bình hành.

Do đó $FT=SE$

 

Ngoài ra, ta cũng có $\Delta AFL \sim \Delta AEK$ 

$\Rightarrow \dfrac{AL}{AK}=\dfrac{AF}{AE}$

 

$$ \dfrac{OA^2-OL^2}{OA^2-OK^2}= \dfrac{LA.LM}{KA.KN}=\dfrac{ LA^2. \dfrac{FX}{FA}}{KA^2. \dfrac{EY}{EA}} =\dfrac{LA^2.FX.EA}{KA^2.EY.FA}= \dfrac{FX.FA}{EY.EA}=\dfrac{FX.FB}{EY.EC}=\dfrac{FT^2-TB^2}{SE^2-SC^2}=1 $$

 

Do đó $OL=OK$

Hình gửi kèm

  • 5.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 25-09-2017 - 22:15


#6 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 25-09-2017 - 23:19

Bài 5. Giả sử ta có số $n$ thỏa mãn. Khi đó ước nguyên tố $p$ của $n$ cũng thỏa mãn.

Lúc này $\{i^4+i^3+i^2| i=\overline{0,p-1}\}$ là HDD modulo $p$

Khi đó áp dụng định lý Wilson ta có: $\prod\limits_{i=1}^{p-1}i^2(i^2+i+1)\equiv\prod\limits_{i=1}^{p-1}(i^2+i+1)  \equiv -1 \pmod{p}$

Xét $p=3$ không thỏa. Xét $p\geqslant 5$

TH1: $p=6k+1$ thì tồn tại $i$ để $i^2+i+1\vdots p$

TH2: $p=6k-1$ thì $\{i^3| i=\overline{1, p-1}\}$ là HDD mod $p-1$

Do đó theo định lý Wilson: $\prod\limits_{i=1}^{p-1}(i^2+i+1) \equiv -3\prod\limits_{i=2}^{p}(i^3-1)\equiv 3\pmod{p}$

 

Do đó $p=2$ nên $n=2^k$, dễ thấy $n=4$ không thỏa nên $n=2^k$ với $k\geqslant 2$ không thỏa.

Như thế chỉ có $n=2$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#7 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 05-09-2018 - 00:05

Bài $7$: 

$a)$ Vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác đều và đánh số các cạnh từ $1 \rightarrow  2n$ 

Gọi $S_a$ là hiệu số số $0$ trừ đi số số $1$ của tập liên tiếp $2k$ phần tử bắt đầu từ $a$ theo chiều kim đồng hồ

Dễ thấy $S_a$ chẵn với mọi a do bất biến đơn giản từ dãy $(0...0) \rightarrow (..1...)$ dựa vào mỗi lần thay $1$ số $0$ bởi số $1$ thì hiệu bất biến mod $2$ 

Chú ý $S_{a+1}-S_{a}$ luôn bằng $0$ hoặc $2$

Lại có $S_1+...+S_{2n}=0$ (đi $a$ lần vòng quanh đa giác) nên tồn tại $S_i \geq  0$ và $S_j \leq  0$

Áp dụng tính liên tục trong rời rạc thì tồn tại $S_k=0$ và ta đc ĐPCM

b) Áp dụng câu $a$ thì tồn tập $2k$ đỉnh cân

Xét đa giác tạo bởi $2(n-k)$ đỉnh còn lại thì nó cũng cân

Chia $2(n-k)$ thành các bộ $2k$ đỉnh liên tiếp thì có $[n/k-1]$ bộ như vậy theo chiếu kim đồng hồ xuất phát từ $1$ đỉnh kề tập $2k$ cân kia 

Giả sử $k<=\sqrt{(2n+2)}-2$ mà không tồn tại $2$ tập cân

Do tính liên tục ta thấy nếu trong $[n/k-1]$ bộ trên nếu có $S_i$ và $S_k$ trái dấu thì tồn tại một tập cân nữa vô lí

Vậy không mất tính tổng quát $S_m>0$ với mọi $m$

Trong $[n/k-1]$ bộ vì $S_m$ chẵn nên số số $0$ lớn hơn số số $1$ trong các bộ đó $\geq 2[n/k-1]$

Trong phần còn lại đặt số số $1$ vượt số số $0$ bằng $r$ sẽ không quá $k$.

Giả sử ngược lại lớn hơn $k$ thì do chỉ còn tối đa $2k-1$ phần tử dư nên nếu lấy thêm $2k-r$ trong các tập đang xét sẽ có $S_i<0$

Theo tính liên tục thì lại tồn tại $S_j =0$ vô lí

Vậy ta có đánh giá $k \geq 2[n/k-1] \geq 2(n/k-2)$

$\Leftrightarrow k^2 \geq 2n-4k \Leftrightarrow (k+2)^2 \geq 2n+2 \Leftrightarrow k>\sqrt{2n+2} -2$

Điều này là vô lí vậy ta có ĐPCM







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đề thi

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh