Chủ đề này có 3 trả lời

[ptt2001]

Với mọi $n >4$ chứng minh : $n^{2}<2^{n}$

[Kiratran]

quy nạp được k nhỉ

giả sử đúng với $n=k$ ta có $2^k \geq k^2$

ta chứng minh đúng với $n=k+1$

ta phải chứng minh $2^{k+1}\geq (k+1)^2$

có$ 2^{k+1}> 2k^2$

$2k^2> k^2+2k+1$

<=> $(k-1-\sqrt{2})(k-1+\sqrt{2})$ đúng với $k>4$

=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kiratran: 15-10-2017 - 18:40

[TrucCumgarDaklak]

quy nạp được k nhỉ

giả sử đúng với $n=k$ ta có $2^k \geq k^2$

ta chứng minh đúng với $n=k+1$

ta phải chứng minh $2^{k+1}\geq (k+1)^2$

có$ 2^{k+1}> 2k^2$

$2k^2> k^2+2k+1$

<=> $(k-1-\sqrt{2})(k-1+\sqrt{2})$ đúng với $k>4$

=> đpcm

không quy nạp được bởi đề bài yêu cầu là với mọi n>4

[chanhquocnghiem]

Với mọi $n >4$ chứng minh : $n^{2}<2^{n}$

Ta cần chứng minh $n^2< 2^n,\forall n> 4$ ($n\in\mathbb{N}$) (*)

+ Với $n=5$, ta có $5^2< 2^5$ $\rightarrow$ (*) đúng.

+ Giả sử (*) đúng khi $n=k\geqslant 5$, tức là ta có $k^2< 2^k$ (1)

   Xét dấu tam thức $x^2-2x-1$ (với điều kiện $x> 0$), ta có $x^2-2x-1> 0\Leftrightarrow x> 1+\sqrt2$

   Vì $k\geqslant 5> 1+\sqrt2$ nên ta cũng có $k^2-2k-1> 0$

   $\Leftrightarrow k^2> 2k+1\Leftrightarrow 2k^2> k^2+2k+1=(k+1)^2\Leftrightarrow \frac{(k+1)^2}{k^2}< 2$ (2)

   Nhân (1) và (2), vế theo vế, ta được $(k+1)^2< 2^{k+1}$. Vậy (*) cũng đúng khi $n=k+1$

+ Theo nguyên lý quy nạp, (*) đúng với mọi $n> 4$ ($n\in\mathbb{N}$)