Chưa có bài trả lời

[dunglamtym]

- Công thức nội suy Lagrange  $f(x) = \sum_{i=1}^{n+1}f(a_{i})\prod_{j=1,j\neq i}^{n+1}\frac{x-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}$

 

- Đa thức bất khả quy: đa thức không phân tích được thành tích 2 đa thức khác hằng số.

  + Tiêu chuẩn Osada : Cho P(x) = xⁿ+a₁x^n-1 + ... +a_n-1 x + p  ( hoặc -p) là một đa thức hệ số nguyên với p là số nguyên tố. Nếu p> 1 +|a₁| +|a₂|+...+|a_n-1| thì P(x) là đa thức bất khả quy.

  + Tiêu chuẩn Polya : Cho P(x) là một số nguyên, với bậc n>0. Đặt n = [(m+1)/2] ( phần nguyên của m+1 trên 2) . Giả sử tồn tại n số nguyên d₁,d₂,...,d_n phân biệt và không là nghiệm của P(x) sao cho $|P(d_{i})| < \frac{m!}{2^m} \forall i$ . Khi đó P(x) bất khả quy.

  + Tiêu chuẩn Eisenstein : Cho đa thức bậc n>0 với hệ số nguyên: P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ . Giả sử tồn tại số nguyên tố p sao cho a_n không chia hết cho p, a_k chia hết chi p với mọi k =0,1,2,...,n-1 , a₀ không chia hết cho p² . Khi đó P(x) bất khả quy trên Z[x]

- Và một số các kiến thức như nghiệm của đa thức, định lí Viete, định lí Bezout, khai triển Abel , khai triển Tay-lo, phép chia đa thức ... thì không được mình nhắc đến ở đây. Các phần này có thể tìm tài liệu trên Internet.

 

* Một số bài tập:

1. Cho đa thức P(x) = ax³+bx²+cx+d với a khác 0. Chứng minh rằng mọi nghiệm thực của đa thức có giá trị tuyệt đối không vượt quá số lớn nhất trong 3 số 1+|b/a| , 1+|c/a| , 1+|d/a|. Chứng minh kết quả tổng quát : mọi nghiệm x₀ của đa thức $P(x) = \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$ đều thỏa mãn bất đẳng thức |x₀| <= 1+ ( max |a_k|) / |a_n| ( với k=0,1,2,...,n-1)

 

2. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. CHứng minh P(x) bất khả quy trên Z[x] khi và chỉ khi P(x) bất khả quy trên Q[x]

 

3. Cho P(x) = ax²+bx+c với a khác 0. CMR: với mỗi số nguyên dương n, tồn tại không quá 1 đa thức Q(x) bậc n thỏa mãn P(Q(x)) = Q(P(x)) với mọi x.

 

4. Cho P(x), Q(x) thuộc R[x] thỏa mãn P(1+x+Q²(x)) = Q(1+x+P²(x)) với mọi x. Giả sử phương trình P(x)=Q(x) có nghiệm thực. Chứng minh rằng P(x) đồng dư với Q(x).