Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển quốc gia chuyên Quốc Học Huế ngày 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 25-09-2017 - 21:33

Câu 1 : Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn 
$$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)(f(x^2)+f(y^2)-f(xy)),\forall x,y \in \mathbb{R}$$ 
Câu 2 : 
a) Cho $a_0>a_1>a_2>...>a_n$ là các số nguyên dương sao cho $a_0-a_n<a_1+a_2+...+a_n$ .Chứng minh tồn taị $i$ với $1 \le i \le n$ sao cho : 
$$0 \le a_0-(a_1+a_2+...+a_i)<a_i$$ 
b) Chứng minh rằng mỗi số nguyên dương lớn hơn $2$ có thể biểu diễn thành tổng của các lũy thừa phân biệt có dạng $a^b$ với $a \in \{3,4,5,6\}$ và $b$ là số nguyên dương. 
Câu 3: Goị $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó . $AI$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$. Gọi $F,E$ lần lượt là các điểm trên cạnh $BC$ và trên cung $BDC$ sao cho $\widehat{BAF}=\widehat{CAE}<\frac{1}{2}\widehat{BAC},G$ là trung điểm của đoạn $IF$. Chứng minh $DG$ và $EI$ giao tại một điểm trên $(O)$ 
Câu 4: Một dãy $(a_1,a_2,..,a_k)$ các ô phân biệt của bàn cờ $n\times n$ được gọi là chu trình nếu $k \ge 4$ và các ô $a_i,a_{i+1}$ có cùng cạnh với mọi $i=1,2,..,k$ ở đây $a_{k+1}=a_1$. Tập hợp $X$ gồm các ô của bàn cờ được gọi là đẹp nếu mỗi chu trình đều chứa ít nhất một ô của $X$. Xác định tất cả các số thực $C$ sao cho với mỗi số nguyên $n\ge 2$ ,trên bàn cờ $n\times n$ có một tập con đẹp chứa không quá $C.n^2$ ô vuông


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-10-2017 - 09:42


#2 dunglamtym

dunglamtym

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh
  • Sở thích:Mọi thứ Toán trừ lượng giác

Đã gửi 25-09-2017 - 21:47

Câu 1: 

Cho x=y=0 => f(0)=0

Cho y=0 => f(x3)=x.f(x2

Có: f(x3) + f(y3) = (x+y)(f(x2)+ f(y2) - f(xy))

=> x.f(x2) + y.f(y2)=(x+y)(f(x2)+ f(y2) - f(xy))

=> y.f(x2) + x.f(y2) = ( x+y).f(xy) (1)

Thay y bởi -x vào phương trình đã cho ta có : f(x3) = -f(-x3) => f là hàm lẻ.

Thay y bởi -y vào (1) ta có : -y.f(x2) +x.f(y2) = (x-y).f(-xy) = (y-x).f(xy) ( do f là hàm lẻ)  (2)

Cộng (1) và (2) ta có: x.f(y2) = y.f(xy) (3)

Thay y bởi 1 vào (3) ta có: x.f(1) = f(x)

=> f(x) = ax với mọi x thuộc R ( với a=f(1))

Thử lại đúng. Vậy ... 

*Ghi chú: ở đằng sau các phương trình đều phải ghi với mọi x,y thuộc R ( lười nên thôi :v)



#3 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-09-2017 - 00:41

 Câu4 Đáp án : $n^2/4$ . 

 

Thật vậy ta có nhận xét : Cứ 1 tập con đẹp thì mỗi ô vuông 2*2 đều bị tập con này lấy ít nhất 1 ô :)



#4 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 26-09-2017 - 16:30

 Câu4 Đáp án : $n^2/4$ . 

 

Thật vậy ta có nhận xét : Cứ 1 tập con đẹp thì mỗi ô vuông 2*2 đều bị tập con này lấy ít nhất 1 ô :)

Tổ hợp mà dễ thế này phải xem lại.

Coi bàn cờ là một đồ thị với các đỉnh là các ô vuông, hai đỉnh nối với nhau nếu hai ô vuông có cạnh chung. Có tất cả $n^2$ đỉnh và $2n(n-1)$ cạnh. Nếu ta bỏ các đỉnh thuộc $X$ thì thu được một đồ thị không chứa chu trình (vì không có chu trình nào không có đỉnh thuộc $X$). Gọi số đỉnh bị bỏ đi là $v$, số cạnh bị mất do bỏ đỉnh là $e$, vì mỗi đỉnh có bậc không quá $4$ nên $e\leq 4v$. Vì đồ thị thu được không có chu trình nên số đỉnh lớn hơn số cạnh suy ra $n^2-v> 2n(n-1)-e\geq 2n(n-1)-4v\Rightarrow v> \frac{n^2-2n}{3}$. Ta có $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{n^2-2n}{3}}{n^2}= \frac{1}{3}$ nên $C\geq \frac{1}{3}$.

Đánh số các hàng, cột từ $1$ đến $n$. Cột nào có số chia $3$ dư $2$ chọn các ô thuộc hàng chẵn, cột nào có số chia hết cho $3$ chọn các ô thuộc hàng lẻ.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh