Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh n chia hết cho 5


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
dunglamtym

dunglamtym

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Cho n là số nguyên dương, n>1 và n là ước của 2n+3n. CMR: n chia hết cho 5.

( Kiến thức của cấp 3 làm được cũng cứ làm nhé )



#2
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Dễ thấy $n$ lẻ và không chia hết cho $3$.Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n \Rightarrow p \geq 5$

Chọn số $a$ thỏa mãn :$2a \equiv -1 (mod p) $ (Rõ ràng luôn tồn tại số $a$ như thế)

Theo giả thiết ta có :$3^n+2^n \vdots n \vdots p \Rightarrow (3a)^n +(2a)^n \vdots p$

Suy ra $(3a)^n \equiv 1 (mod p)$ $(1)$

Gọi $h$ là số nguyên nhỏ nhất thỏa $(3a)^h \equiv 1 (mod p)$ $(2)$

Mặt khác theo định lý $Fermat$ nhỏ thì $(3a)^{p-1} \equiv 1 (mod p)$ (chú ý $gcd(a,p)=1$) nên từ $(1)$ và $(2)$ suy ra :

$h|(n,p-1)=1$ (vì theo cách chọn $p$ nhỏ nhất). Suy ra $3a \equiv 1 (mod p)$ kết hợp $2a \equiv 1 (mod p)$  cho ta $5a \vdots 9 \Rightarrow 5 \vdots p \Rightarrow n \vdots 5$

 


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh