Cho n là số nguyên dương, n>1 và n là ước của 2n+3n. CMR: n chia hết cho 5.
( Kiến thức của cấp 3 làm được cũng cứ làm nhé )
Cho n là số nguyên dương, n>1 và n là ước của 2n+3n. CMR: n chia hết cho 5.
( Kiến thức của cấp 3 làm được cũng cứ làm nhé )
Dễ thấy $n$ lẻ và không chia hết cho $3$.Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n \Rightarrow p \geq 5$
Chọn số $a$ thỏa mãn :$2a \equiv -1 (mod p) $ (Rõ ràng luôn tồn tại số $a$ như thế)
Theo giả thiết ta có :$3^n+2^n \vdots n \vdots p \Rightarrow (3a)^n +(2a)^n \vdots p$
Suy ra $(3a)^n \equiv 1 (mod p)$ $(1)$
Gọi $h$ là số nguyên nhỏ nhất thỏa $(3a)^h \equiv 1 (mod p)$ $(2)$
Mặt khác theo định lý $Fermat$ nhỏ thì $(3a)^{p-1} \equiv 1 (mod p)$ (chú ý $gcd(a,p)=1$) nên từ $(1)$ và $(2)$ suy ra :
$h|(n,p-1)=1$ (vì theo cách chọn $p$ nhỏ nhất). Suy ra $3a \equiv 1 (mod p)$ kết hợp $2a \equiv 1 (mod p)$ cho ta $5a \vdots 9 \Rightarrow 5 \vdots p \Rightarrow n \vdots 5$
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh