2 replies to this topic

[anhquannbk]

Cho $ A$ là một ma trận vuông phức cấp $n$  sao cho $ trace(A^k)=0$ với mọi $ k=1, 2,...n$. Chứng minh rằng $ A$ là ma trận lũy linh.

Edited by anhquannbk, 27-09-2017 - 17:42.

[An Infinitesimal]

Cho $ A$ là một ma trận vuông phức cấp $n$  sao cho $ trace(A^k)=0$ với mọi $ k=1, 2,...n$. Chứng minh rằng $ A$ là ma trận lũy linh.

 

Làm vội vả thì thế này!

1/ Gọi $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ là tất cả các trị riêng phức (có thể trùng) của $A$.

 

2/  $\lambda_1^k, \lambda_2^k, ..., \lambda_n^k$ là tất cả các trị riêng phức (có thể trùng) của $A^k$.

 

3/ $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=\trace(A)$ với $A$ là ma trận bất kỳ.

 

4/ Suy ra $\lambda_1^k+\lambda_2^k+...+\lambda_n^k=0$ với mọi $k=1, 2, ..., n$.

Suy ra $\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0.$ Suy ra $A^n=\mathbf{0}.$

 

(Sẽ kiểm tra lại lần nữa!)

[vutuanhien]

Cho $ A$ là một ma trận vuông phức cấp $n$  sao cho $ trace(A^k)=0$ với mọi $ k=1, 2,...n$. Chứng minh rằng $ A$ là ma trận lũy linh.

Do $A$ là ma trận vuông có hệ số thuộc trường đóng đại số, nên nó đồng dạng với một ma trận dạng chuẩn Jordan $J$ có các khối Jordan tương ứng là $J_{1}$, $J_{2},$, $\dots$, $J_{k}$ với các cấp $a_{1}$ $\dots$, $a_{k}$ ứng với các giá trị riêng phân biệt $\lambda_{1}$, $\dots$, $\lambda_{k}$. Vì $tr(A^{k})=0$ với mọi $k=1,2,...,n$ nên ta có hệ phương trình

$$a_{1}\lambda_{1}^{i}+...+a_{k}\lambda_{k}^{i}=0 \forall i=1,2,\dots, n$$ với các ẩn $a_{1}$, $\dots$, $a_{k}$. Đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác $0$ nên các ma trận vuông cấp $k$ của nó đều suy biến. Mặt khác ta tính được định thức 

$$\begin{vmatrix} \lambda_{1}&\lambda_{2}&\dots&\lambda_{k} \\ \lambda_{1}^{2}&\lambda_{2}^{2}&\dots&\lambda_{k}^{2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \lambda_{1}^{k}&\lambda_{2}^{k}&\dots&\lambda_{k}^{k}\\ \end{vmatrix}=\lambda_{1}...\lambda_{k}\prod_{i\neq j}(\lambda_{i}-\lambda_{j})$$

nên có ít nhất một trong các giá trị riêng này bằng $0$, vì $\lambda_{i}\neq \lambda_{j}$ với mọi $i\neq j$. Không mất tổng quát giả sử $\lambda_{1}=0$, thì thay vào ta thu được hệ phương trình $n-1$ ẩn vẫn có nghiệm khác $0$ nên cứ làm lần lượt như vậy ta suy ra $\lambda_{1}=\dots=\lambda_{k}=0$. Vậy ma trận $A$ có giá trị riêng duy nhất là $0$ nên nó là ma trận lũy linh. 

Edited by vutuanhien, 28-09-2017 - 13:51.