Cho $x,y,z \ge 0$. Chứng minh :${x^3} + {y^3} + {z^3} + 2({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x) \ge 3(x{y^2} + y{z^2} + z{x^2})$
$\sum {{x^3}} + 2\sum {{x^2}y \ge 3} \sum {x{y^2}} $
#1
Đã gửi 30-09-2017 - 20:06
#2
Đã gửi 30-09-2017 - 20:22
Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$$\Rightarrow \left ( x-y \right )\left ( x-z \right )\left ( y-z \right )\geq 0\Leftrightarrow \sum x^{2}y\geq \sum xy^{2}\Leftrightarrow 2\sum x^{2}y\geq 2\sum xy^{2}$
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$\sum \left ( x^{3}+y^{3}+y^{3} \right )\geq \sum 3xy^{2}\Leftrightarrow 3\sum x^{3}\geq 3\sum xy^{2}\Leftrightarrow\sum x^{3}\geq \sum xy^{2}$
$\Rightarrow \sum x^{3}+2\sum x^{2}y\geq 3\sum xy^{2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z\geq 0$
#3
Đã gửi 30-09-2017 - 20:36
Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$$\Rightarrow \left ( x-y \right )\left ( x-z \right )\left ( y-z \right )\geq 0\Leftrightarrow \sum x^{2}y\geq \sum xy^{2}\Leftrightarrow 2\sum x^{2}y\geq 2\sum xy^{2}$
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$\sum \left ( x^{3}+y^{3}+y^{3} \right )\geq \sum 3xy^{2}\Leftrightarrow 3\sum x^{3}\geq 3\sum xy^{2}\Leftrightarrow\sum x^{3}\geq \sum xy^{2}$
$\Rightarrow \sum x^{3}+2\sum x^{2}y\geq 3\sum xy^{2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z\geq 0$
bài toán không đối xứng, bạn cần phải xét thêm trường hợp $x \le y \le z$
$x \le y \le z \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)\left( {y - z} \right) \le 0 \Leftrightarrow \sum {{x^2}} y \le \sum x {y^2}$.... ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen kd: 30-09-2017 - 20:49
#4
Đã gửi 30-09-2017 - 21:29
Bài toán trên với bài toán này tưởng chừng như mặt trăng với mặt trời khó tìm được điểm chung nào, nhưng thực chất có đấy các bạn.Nếu bạn giải quyết được bài toán trên thì bài bài toán này cũng sẽ OK thôi.
Cho $a,b,c > 0$ chứng minh :
${c \over {\sqrt {(3b + a)(3c + b)} }} + {a \over {\sqrt {(3c + b)(3a + c)} }} + {b \over {\sqrt {(3a + c)(3b + a)} }} \ge {3 \over 4}$
#5
Đã gửi 05-10-2017 - 20:48
Cho $x,y,z \ge 0$. Chứng minh :${x^3} + {y^3} + {z^3} + 2({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x) \ge 3(x{y^2} + y{z^2} + z{x^2})$
Lời giải: https://diendantoanh...ào/#entry474480
- minhducndc yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức - cực trị
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{1 - a}{1 + b} + \frac{1 - b}{1 + c} + \frac{1 - c}{1 + a} \le 0$Bắt đầu bởi nguyen kd, 11-10-2017 bất đẳng thức - cực trị |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh