lời giải bài 2 của em
Bổ đề 1:
cho tam giác $ABC$, dựng 2 tam giác cân đồng dạng ngoài $\triangle ABC$ là $\triangle ACB'$ và $\triangle ABC'$. Đường thẳng qua $C'$ song song $AC$ cắt đường thẳng qua $B'$ song song với $AB$ tại $A''$ thì $AA''$ chia đôi $BC$
chứng minh.
Gọi giao của đường thẳng qua $C'$ song song $AC$ cắt $AB$ tại $X$ tương tự $Y$ thì do $\angle{AC'X}=\angle{AB'Y}$ nên $\frac{AX}{XB}=\frac{AY}{YB}$ vậy 3 đường thẳng qua $A,X,B$ song song với $AC$ cắt 3 đường thẳng qua $A,Y,C$ song song với $AB$ cắt nhau tại 3 điểm thì thẳng hàng kết hợp với hình bình hành suy ra $AA'$ đi qua trung điểm $BC$
Bổ đề 2: (giữ lại giả thiết của đề bài)
$\triangle A'B'C'$ và $\triangle ABC$ chia sẽ chung trọng tâm
(bổ đề này quen thuộc )
Bổ đề 3: (giữ lại giả thiết của đề bài)
gọi tâm của $\triangle A'BC$ là $P$ thì $PA \perp B'C'$
chứng minh. Ta có $\angle{PCB}=30=90-\angle{B'CA}$ áp dụng công thức hàm $cos$ và công thức $sin$ ta có
$PB'^2-B'A^2=PB'^2-B'C^2=PC^2+2PC.B'C.cos(B'CP) =PC^2 + 2PC.B'C.sin(\angle{ACB})$
Tương tự ta có $PC'^2-C'A^2=PB^2+2PB.C'Bsin(\angle{ABC})$
Vậy ta đễ có $PB'^2-B'A^2=PC'^2-C'A^2$
áp dụng định lí $4$ điểm ta có $AP$ vuông $B'C'$
Quay lại bài toán
Ta đễ thấy tâm ngoại tiếp của $\triangle ABC$ cũng chính là trực tâm của $\triangle A''B'C'$
Gọi trọng tâm của $\triangle ABC$ và $\triangle A''B'C'$ là $G$ và $G'$
Từ bổ đề 2 ta suy ra $A'G$ và $A''G'$ cắt nhau tại trung điểm $B'C'$ vậy ta suy ra $GG' // A'A''$ theo thales
Gọi trung điểm $B'C'$ và $BC$ là $M'$,và $M$
Cũng từ bổ đề 2 ta suy ra $MM' // AA'$. $MM'$ cắt $A'A''$, $GG'$ là $X$ và $X'$ suy ra $\frac{X'G}{X'G'}=\frac{XA'}{XA''}$
Gọi tâm của $(A'BC)$ là $P$ thì theo thales ta có $PG // AA'$ suy ra $PG // MM'$ (1)
Giao của $A''O$ và $MM'$ là $H$ thì theo bổ đề 3 ta có $A''H // AP$. Gọi giao của $MM'$ và $AP$ là $Y$ thì theo bổ đề 2 và thales ta suy ra $\frac{HO}{HA''}=\frac{YP}{YA}$ mà theo (1) và thales ta suy ra $\frac{YP}{YA}=\frac{MP}{MA'}$ vậy $\frac{HO}{HA''}=\frac{MP}{MA'}$ (2)
Vậy áp dụng định lí Menelause cho $\triangle OAA'$ với $H,M,X$ thẳng kết hợp với (2) ta suy ra $\frac{MP}{OP}=\frac{XA'}{XA''}$
Suy ra $\frac{X'G}{X'G'}=\frac{MP}{OP}$ mà $MX' // PG$ vậy $OG' // PG // AA'$ dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHN: 01-10-2017 - 21:00