Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội lớp 12 Vòng 2 2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-10-2017 - 19:01

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 TP Hà Nội 

Ngày 30/09/2017

 

Bài 1. (4 điểm) Cho $x, y, z$ là các số hữu tỉ sao cho $x+y^{2}+z^{2}$, $y+z^{2}+x^{2}$ và $z+x^{2}+y^{2}$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $2x$ là số nguyên.

 

Bài 2. (4 điểm) Cho hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện 

$f(tanx)=\frac{1}{2}sin2x-cos2x$       $\forall x\epsilon (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

Tìm giá trị lớn nhất là nhỏ nhất của biểu thức  $f(sin^{2}x).f(cos^{2}x)$ $(\forall x\epsilon R)$

 

Bài 3. (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB< AC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$, $N$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BN=BA$. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $(ANC)$ tại $P$. Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ vuông góc với  $MP$ và đường thẳng $AP$, $F$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ song song với $MP$ cắt $PN$ tại $F$. Chứng minh rằng $PC$ chia đôi $EF$.

 

Bài 4. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho: 

$(P(x))^{2}=2P(x^{2}-3)+1$   $(\forall x\epsilon R)$

 

Bài 5. (4 điểm) Với mọi $n\epsilon \left \{ 1,2,3 \right \}$ , ta gọi số tự nhiên $k$ là một số tự nhiên kiểu $n$ nếu $k=0$ hoặc $k$ là một số hạng của dãy $1;n+2;(n+2)^{2};(n+2)^{3};...$ hoặc $k$ là tổng của một số số hạng của dãy trên. Chứng minh rằng bất kì số nguyên dương nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng của một số kiểu 1 với một số kiểu 2 và một số kiểu 3.



#2 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Toán học, Harry Potter và Da LAB.

Đã gửi 15-08-2020 - 17:02

Bài 2:

Đặt $\tan x =t$ thì $t \in \mathbb{R}$ và $\sin 2x=\frac{2t}{1+t^2}$ và $\cos 2x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Do đó $f(t)=\frac{1+t-t^2}{1+t^2}$. Đặt $\sin^2 x=a, \cos^2x=b$ thì $a,b \in [0;1]$ , $a+b=1$ và $f(a)f(b)=\frac{1+a-a^2}{1+a^2}.\frac{1+b-b^2}{1+b^2}= \frac{(ab)^2+2ab+1}{(ab)^2-2ab+2}=\frac{h^2+2h+1}{h^2-2h+2}=g(h)$. Từ đây khảo sát hàm $g(h)$ trên đoạn $[0;1]$ ta tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $g(h)$, đồng thời là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f(a).f(b)$


"After all this time?"

"Always.."      


#3 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 490 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{1010101}}$

Đã gửi 16-08-2020 - 13:40

$\textbf{P3:}$

Ta đi chứng minh $\triangle PAN\sim \triangle PFE(c.g.c)$

$\left\{\begin{matrix}\widehat{P}:\text{goc-chung} & \\ \frac{PA}{PF}=\frac{PN}{PE} & \\ & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow CM:PA.PE=PN.PF$

Ta có:

$\widehat{PNB}=\widehat{PAC}=90^{\circ}-\widehat{BAP};\widehat{PBF}=90^{\circ}-\widehat{EBP}=\widehat{BPM}=\widehat{MBP}=90-\widehat{BAP}\rightarrow \widehat{PNB}=\widehat{PBF}$

Xét: $\triangle{PNB}\sim \triangle{PBF}:$

$\left\{\begin{matrix}\widehat{P}:\text{goc-chung} & \\ \widehat{PNB}=\widehat{PBF} & \\ & \end{matrix}\right.$

$\triangle PNB\sim \triangle PBF(g.g)\rightarrow \frac{PN}{PB}=\frac{PB}{PF}\rightarrow PB^2=PN.PF$

Gọi giao điểm của EB với MP là S 

Ta có:$\widehat{BEP}=90^{\circ}-\widehat{EBP}=90^{\circ}-\widehat{SBP}=\widehat{SPB}=\widehat{MPB}=\widehat{MBP}=\widehat{ABP}$

(Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông) 

Từ đó, xét $\triangle ABP\sim \triangle BEP:$

$\left\{\begin{matrix}\widehat{APB}=\widehat{EPB}=90^{\circ} & \\ \widehat{ABP}=\widehat{BEP} & \\ & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow \triangle BEP\sim \triangle ABP(g.g)\rightarrow \frac{PB}{PE}=\frac{PA}{PB}\rightarrow PA.PE=PB^2$

Từ đó: $PA.PE=PN.PF=PB^2\rightarrow \frac{PA}{PN}=\frac{PF}{PE}$

Suy ra, $\triangle PNA\sim \triangle PEF(c.g.c)$

Gọi giao điểm của PC với EF là L

Và lấy trung điểm của AN là D

Khi đó: A,D,P,B đồng viên do tam giác ABN cân tại B với D là trung điểm của AN 

Cần chứng minh: $\triangle PDA\sim PLF\rightarrow \frac{AD}{LF}=\frac{PA}{PF}=\frac{AN}{EF}=\frac{2.AD}{EF}\rightarrow EF=2.LF$

Vì thế cần chứng minh: 

$\widehat{NPL}=\widehat{APD}\rightarrow \widehat{NPL}-\widehat{APD}=0\rightarrow \widehat{NPC}-\widehat{ABD}=0\rightarrow \widehat{NAC}-\widehat{ABD}=0(true)$

Do: CA là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính AB.

Từ đó: $\triangle PAD\sim \triangle PLF(g.g)(+\triangle PAN\sim \triangle PFE)$

Suy ra $EF=2.LF\rightarrow LE=LF$ 

Từ đó ta có điều phải chứng minh. $\boxed{}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 16-08-2020 - 20:57


#4 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Toán học, Harry Potter và Da LAB.

Đã gửi 16-08-2020 - 21:19

Bài 4:

Giả sử $P(x)$ khác đa thức hằng.

Gọi $a$ là nghiệm của phương trình $x^2-x-3=0$. Tử giả thiết, thay $x=a$ ta được 

$$b^2=2b+1$$(Với $b=P(a)=P(a^2-3)$)(1)

Từ đó suy ra $b \neq 0$

Do đó ta viết $P(x)=(x-a)P_1(x)+b$. Thay vào giả thiết ra được:

$$(x-a)^2P_1^2(x)+2b(x-a)P_1(x)+b^2=2(x^2-a^2)P_1(x^2-3)+2b+1$$

Kết hợp với (1) ta suy ra $(x-a)^2P_1^2(x)+2b(x-a)P_1(x)=2(x-a)(x+a)P_1(x^2-3)$(2)

Suy ra $(x-a)P_1^2(x)+2bP_1(x)=2(x+a)P_1(x^2-3) \forall x \neq a$

Cho $x \rightarrow a$ ta được $bP_1(a)=4aP_1(a)$. Từ đó suy ra $P_1(a)=0$. Ta viết $P_1(x)=(x-a)P_2(x)$. Thay vào (2) ta được: $(x-a)^4P_2(x)+2b(x-a)^2P_2(x)=2(x-a)^2(x+a)^2P_2(x^2-3)$

Suy ra $(x-a)^2P_2(x)+2bP_2(x)=(x+a)^2P_2(x^2-3)$. Cho $x \rightarrow 1$ ta được $2bP_2(x)=4a^2P_2(a)$, từ đó có $P(a)=0$. Bằng quy nạp ta chứng minh đuọc rằng $P_n(a)=0 \forall n \in \mathbb{N^*}$. Dễ thấy điều này là vô lý. Do đó $P(x)$ là đa thức hằng. Từ đó dễ dàng tìm được $P(x)$ 

 

 


"After all this time?"

"Always.."      


#5 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Toán học, Harry Potter và Da LAB.

Đã gửi 27-08-2020 - 15:59

Câu 1: 

Gọi d là mẫu số chung dương nhỏ nhất của $x,y,z$. Đặt $x=\frac{a}{d},y=\frac{b}{d},z=\frac{c}{d}$. Khi đó ta có $\frac{ad+b^2+c^2}{d^2},\frac{bd+c^2+a^2}{d^2}, \frac{cd+a^2+b^2}{d^2} \in \mathbb{Z}$.

Do đó ta có:$ d \vert a^2+b^2, d \vert b^2+c^2, d \vert c^2+a^2$, từ đó suy ra $d \vert 2a^2, d \vert 2b^2, d \vert 2c^2$.

Giả sử $d$ có ước nguyên tố lẻ $p$, khi đó $p \vert a, p \vert b, p \vert c$, và ta có $x=\frac{\frac{a}{p}}{\frac{d}{p}}, b=\frac{\frac{y}{p}}{\frac{d}{p}},c=\frac{\frac{z}{p}}{\frac{d}{p}}$. Suy ra $x,y,z$ có mẫu chung dương nhỏ hơn $d$, mâu thuẫn với cách chọn $d$.

Do đó $d=2$ hoặc $d$ =1. Khi đó $2x=a$hoặc $2x=2a$ là số nguyên $(Q.E.D)$


"After all this time?"

"Always.."      





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh