Đề thi học sinh giỏi lớp 12 TP Hà Nội
Ngày 30/09/2017
Bài 1. (4 điểm) Cho $x, y, z$ là các số hữu tỉ sao cho $x+y^{2}+z^{2}$, $y+z^{2}+x^{2}$ và $z+x^{2}+y^{2}$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $2x$ là số nguyên.
Bài 2. (4 điểm) Cho hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện
$f(tanx)=\frac{1}{2}sin2x-cos2x$ $\forall x\epsilon (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
Tìm giá trị lớn nhất là nhỏ nhất của biểu thức $f(sin^{2}x).f(cos^{2}x)$ $(\forall x\epsilon R)$
Bài 3. (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB< AC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$, $N$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BN=BA$. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $(ANC)$ tại $P$. Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ vuông góc với $MP$ và đường thẳng $AP$, $F$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ song song với $MP$ cắt $PN$ tại $F$. Chứng minh rằng $PC$ chia đôi $EF$.
Bài 4. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho:
$(P(x))^{2}=2P(x^{2}-3)+1$ $(\forall x\epsilon R)$
Bài 5. (4 điểm) Với mọi $n\epsilon \left \{ 1,2,3 \right \}$ , ta gọi số tự nhiên $k$ là một số tự nhiên kiểu $n$ nếu $k=0$ hoặc $k$ là một số hạng của dãy $1;n+2;(n+2)^{2};(n+2)^{3};...$ hoặc $k$ là tổng của một số số hạng của dãy trên. Chứng minh rằng bất kì số nguyên dương nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng của một số kiểu 1 với một số kiểu 2 và một số kiểu 3.
