Chứng minh rằng với mọi $n \in Z^+$ ta đều có:
$A = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{(n + 1)\sqrt{n}} < 2$.
Thầy có chỉ cho mình hướng giải như sau:
Với $k \in Z^+$, xét: $\frac{1}{(k + 1)\sqrt{k}} = \sqrt{k}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1}})(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}}) < \sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k}})(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}}) = \frac{2}{\sqrt{k}} - \frac{2}{\sqrt{k + 1}}$.
Suy ra: $\frac{1}{(k + 1)\sqrt{k}} < \frac{2}{\sqrt{k}} - \frac{2}{\sqrt{k + 1}}$.
Áp dụng công thức trên vào bài toán cần chứng minh, ta sẽ được:
$A = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{(n + 1)\sqrt{n}} < 2 - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}$.
Tới đây thì mình không biết phải giải quyết thêm như thế nào? Nếu ai biết thì chỉ dẫn giúp mình nhé.
Thanks.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcm: 01-10-2017 - 20:36
